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Application Affine Tangente

Envoyé par pappus 
Application Affine Tangente
il y a trois années
Voilà un petit exercice destiné à voir si on maitrise bien les définitions les plus élémentaires du calcul différentiel.
Etant très très prudent, je me contenterais de la tristounette dimension 1.
Il ne faut quand même pas exagérer et traumatiser inutilement nos étudiants!!
Cette figure est faite dans le plan affine réel et montre deux droites $L$ et $L'$ se coupant en $O$.
On se donne un point $A \in L$ et un point $A'\in L'$ ainsi qu'une droite $D$ tracée en rouge.
Soit $M\in L$, on définit un point $M' \in L'$ de la façon suivante:
La droite $A'M$ coupe la droite $D$ en $U$ et la droite $AU$ coupe $L'$ en $M'$.
On définit ainsi une application $f:M\mapsto M'$.
1° Montrer que $f$ est une bijection de son ensemble de définition $\Omega$ sur son ensemble image $\Omega'$
2° Montrer que $\Omega$ est un ouvert de $L$ contenant $A$ et que $\Omega'$ est un ouvert de $L'$ contenant $A'$.
3° Montrer que $f$ est un difféomorphisme de classe $\mathcal C^{\infty}$ de $\Omega$ sur $\Omega'$.
4° Déterminer l'application affine tangente de $f$ au point $A$.
D'après le cours, cette application affine tangente est une bijection affine $g$ de $L$ sur $L'$, (c'est à dire un TGV mais on a pas vraiment besoin de le savoir).
Construire le graphe de $g$ (au sens de Pierre).
Amicalement
Pappus


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour Pappus
Histoire sans paroles (je pense que les propriétés d'une fonction homographique d'une variable réelle sont connues).
Amicalement. Poulbot


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Merci pour ta figure qui devrait sembler encore bien hermétique pour la plupart!
Bien sûr que les propriétés d'une fonction homographique sont connues ainsi que la notion d'application affine tangente.
Cela c'est la partie analyse!
Mais quid de la partie géométrique (hélas plus ou moins défunte)?
Comment faire apparaitre sur ta figure ce que tu as volontairement caché?
Je signale que les points que tu as notés $lim$ et $lim'$ sont effectivement des points limites mais de quoi?!
De plus l'existence du point $C$ doit être prouvée!
Amicalement
Pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pappus.
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour Pappus
J'ai renommé $l$ et $l'$ les "points limites" $f^{-1}\left( L_{\infty }^{\prime }\right) $ et $f\left( L_{\infty }\right) $ où $L_{\infty }$ et $L_{\infty }^{\prime }$ sont les points à l'$\infty $ de $L$ et $L'$.
$f$ est une homographie puisque composée de deux perspectivités (barbarisme à base d'anglicisme??) $M\in L\rightarrow U\in D\rightarrow M^{\prime }\in L^{\prime }$.
On a $\dfrac{\overline{A^{\prime }g\left( M\right) }}{\overline{A^{\prime }l^{\prime }}}=-\dfrac{\overline{AM}}{\overline{Al}}$. Le graphe de $g$ est la droite $BC$, lieu de $Ag\left( M\right) \cap A^{\prime }M$; c'est aussi le lieu du point commun aux parallèles à $L$ et $L'$ passant par $g(M)$ et $M$. $C$ peut parfaitement être à l'$\infty $ (quand $D\parallel AA^{\prime }$).
On peut aussi remarquer que $f$ est affine quand $B\in D$.
Amicalement. Poulbot



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par poulbot.
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
J'avoue avoir du mal à te suivre.
Que $f$ soit une homographie d'accord.
Techniquement , la droite $D$ (tracée en rouge) est l'axe de cette homographie, voir le cours de Bruno par exemple.
C'est la suite de ton raisonnement que je ne comprends pas très bien.
Où te sers-tu du fait que $g$ est l'application affine tangente de $f$ en $A$?
D'où sors-tu l'égalité: $\dfrac{\overline{A^{\prime }g\left( M\right)
}}{\overline{A^{\prime }l^{\prime
}}}=-\dfrac{\overline{AM}}{\overline{Al}}$
Comment construis-tu le point $g(M)$ sur ta figure?
Dire que le graphe de $g$ est la droite $BC$ est une pétition de principe tant qu'elle n'est pas justifiée!
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour Pappus
je n'ai guère de temps mais,
prenant le repère $\left( O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA^{\prime }}\right) $ avec $l=\left( \mu ,0\right) ,l^{\prime }=\left( 0,\mu ^{\prime }\right) ,M=\left( t,0\right) $, on a $f\left( M\right) =\left( 0,f\left( t\right) \right) ,g\left( M\right) =\left( 0,g\left( t\right) \right) $ où $f\left( t\right) =\dfrac{\mu ^{\prime }\left( t-1\right) +1-\mu }{t-\mu }$ ($t\rightarrow f\left( t\right) $ est homographique,$f\left( 1\right) =1,f\left( \mu \right) =\infty ,f\left( \infty \right) =\mu ^{\prime }$) ,
$g\left( t\right) =f\left( 1\right) +\left( t-1\right) f^{\prime }\left( 1\right) =1-\dfrac{\mu ^{\prime }-1}{\mu -1}\left( t-1\right) $ et on a $\dfrac{g\left( t\right) -1}{\mu ^{\prime }-1}=-\dfrac{t-1}{\mu -1}$.
Quand au graphe de $g$, c'est la droite lieu du point commun à la parallèle à $L$ en $g\left( M\right) $ et à la parallèle à $L^{\prime }$ en $M$. Prenant $M=A$, elle passe par $B$; pour voir qu'elle passait aussi par $C=D\cap AA^{\prime }$, j'avais, de manière trop rustique, remarqué que $C$ était la position limite de $Ag\left( M\right) \cap A^{\prime }M$ quand $M\rightarrow A$.
Maintenant, les graphes $D$ et $G_{g}$ de $f$ et $g$ étant les lieux de $Af\left( M\right) \cap A^{\prime }M$ et $Ag\left( M\right) \cap A^{\prime }M$, ont pour équation respective $\mu ^{\prime }\left( x-1\right) +\mu \left( y-1\right) +1=0$ et $\left( \mu ^{\prime }\left( x-1\right) +\mu \left( y-1\right) +1\right) +\left( 1-x-y\right) =0$, ils se coupent sur la droite $AA^{\prime }$ et le deuxième passe par $B=\left( 1,1\right) $.
Quand à la construction de $g(M)$, j'ai voulu en montrer deux sur la figure, en utilisant le fait que les droites $Ag\left( M\right) $ et $A^{\prime }M$ se coupaient sur $BC$ et qu'il en était de même des parallèles à $L$ en $g\left( M\right) $ et à $L^{\prime }$ en $M$.
Amicalement. Poulbot



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par poulbot.
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Voici ma figure avec mes explications qui devraient recouper les tiennes.
J'ai seulement modifié quelques notations.
La correspondance $M \iff M'$ est effectivement une bijection projective entre les droites $L$ et $L'$.
On complète le parallélogramme $OMmM'$ et le lieu de $m$ est le graphe de cette correspondance.
D'après le cours, c'est une conique $\Gamma$ dont les asymptotes tracées en pointillé sont les droites respectivement parallèles aux droites $L$ et $L'$ et passant par le point limite $I$ ou $I'$ adéquat. J'ai d'ailleurs suggéré la construction de ces points limites.
C'est sans doute le fait que ce graphe apparaisse dans le repère $\{O,(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OA'})\}$ comme le graphe d'une fonction homographique que nos anciens ont donné le doux nom d'homographie à cette correspondance $M\iff M'$.
Maintenant cette fonction homographique étant dérivable en $A$, elle admet en ce point une application affine tangente dont le graphe, depuis des temps immémoriaux, est connu pour être la tangente en $a$ au graphe $\Gamma$, où $a$ est défini par le fait que le quadrilatère $OAaA'$est un parallélogramme.
Il reste à montrer que cette tangente, l'axe d'homographie $D$ et la droite $AA'$ sont bien concourants en un point $C$.
Amicalement
Pappus


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Qui peut le plus peut le moins.
Ici $f$ est la perspectivité de la droite $L$ sur la droite $L'$ à partir du perspecteur $\Omega$.
Il est clair que $f(O)=O$.
Quel est le graphe de l'application affine tangente de $f$ en $O$?
Amicalement
Pappus


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonsoir Pappus
$Mg\left( M\right) $ est parallèle à $O\Omega $. $f$ et $g$ ont même graphe : la polaire $D$ de $\Omega $ par rapport à $\left( L,L^{\prime }\right) $.
Amicalement. Poulbot


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
C'est exact mais je ne sais pas si tes lecteurs ont bien compris ton raisonnement car tu te refuses toujours à tracer le moindre graphe de $f$!
En gros le graphe de $g$ est la tangente en $O$ au graphe de $f$ qui est une hyperbole passant par $O$, encore plus facile à tracer que celle du cas général!
Faire cette figure n'est quand même pas très difficile!
Maintenant j'en viens au gros morceau, on va passer à la dimension 2.
Quel saut prodigieux!!
Je sais que cela paraîtra toujours un peu tristounet à nos agrégatifs virtuoses de la dérivation dans les espaces de Banach et autres Hilbert mais sait-on jamais?
Voilà en tout cas mon problème:
Soit $ABC$ un triangle du plan affine réel , complété projectivement.
On se donne une paire $(D, D')$ de points du plan affine non situés sur les côtés du triangle $ABC$.
Soit $f$ la transformation projective fixant les points $A$, $B$, $C$ transformant $D$ en $D'=f(D)$.
Evaluer l'application affine tangente de $f$ en $A$ que je note encore $g$.
Il y a deux aspects dans cette question, l'aspect analytique sans doute le plus trivial, (enfin je m'avance un peu sans doute?), et l'aspect géométrique.
Concrètement on est devant son écran d'ordinateur avec son logiciel de géométrie dynamique préféré ou bien avec sa feuille de papier, sa règle et son compas, beaucoup plus démocratiques.
Sur l'écran ou sur cette feuille, on dispose des données $A$, $B$, $C$, $D$, $D'$, $M$ et on doit construire avec les outils du logiciel ou bien avec sa règle et son compas, le point $M'=g(M)$.
Si cela peut rassurer certains le plan affine est complet mais on ne peut pas dire que ça aide vraiment!
Amicalement
Pappus
PS
Voici ma propre figure.
J'ai dessiné l'hyperbole $\Gamma$, graphe de $f: M \iff M'$. Le perspecteur $\Omega$ en est le centre et les asymptotes sont les parallèles aux droites $L$ et $L'$ passant par ce point, ce qui fait que les points limites de $f$ crèvent les yeux!
Le graphe de $g$, (tracé en bleu), est la tangente en $O$ à $\Gamma$ qui coupe les asymptotes en $P$ et $P'$.
On sait (ou plus probablement on savait), que $O$ est, (ou était), le milieu du segment $PP'$, ce qui entraine, (ou entrainait), la propriété citée par Poulbot, à savoir qu'on a un faisceau harmonique: $(L,L',O\Omega,OP) =-1 $.
Quand j'étais gamin, on apprenait cela en classe de Seconde!j
En ce qui concerne l'exercice en dimension 2, j'ai préféré appeler $f$ transformation projective et non collinéation car je me souviens m'être fait taper sur les doigts par Ga?, il y a quelques années pour avoir employé cette terminologie.
J'ai bien sûr remarqué, comme nous, tous les divers avatars de notre ami qui a préféré les réunir en GaBuZoMeu.
Je m'étais toujours demandé pourquoi il avait adopté ces alias et pourquoi avait-il préféré faire maintenant leur concaténation, quand ce dernier week-end après avoir fait mes mots croisés favoris, j'ai jeté un vague coup d'oeil sur les divers articles politiques, la plupart sans intérêt, de cette revue et brusquement en lisant l'un d'entre eux, j'ai eu l'explication de cette bizarre onomatopée!
Alors j'ai eu honte de mon inculture!
J'en profite pour lui souhaiter un joyeux Noël et avec un peu d'avance une bonne Année 2015!



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pappus.


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Voici une preuve à l'ancienne de l'existence du point $C$ de Poulbot.
J'ai tracé le graphe $\Gamma$ de $f:M\iff M'$ ainsi que les parallélogrammes $OAaA'$ et $OMmM'$.
Par définition, les points $a$ et $m$ appartiennent au graphe $\Gamma$.
Par définition, les droites $A'M$ et $AM'$ se coupent en un point $U$ situé sur l'axe d'homographie $D$ tracé en rouge.
On a deux trios de droites parallèles, à savoir
$(L,mM',aA')$ et $(L',aA,mM)$
On les met en bijection ensembliste:
$(L,mM',aA')\iff (L',aA,mM)$ et on applique le théorème de Pappus:
On forme les intersections:
$mM\cap mM' =m$ et $aA\cap aA'= a$ qu'on joint pour obtenir la droite $am$.
On forme les intersections:
$mM\cap L =M$ et $L'\cap aA'= A'$ qu'on joint pour obtenir la droite $MA'$.
On forme les intersections:
$L\cap aA =A$ et $L' \cap mM'= M'$ qu'on joint pour obtenir la droite $M'A$.
Alors d'après le théorème de Pappus, ces trois droites sont concourantes, le point de concours ne pouvant être que $U$.
Ainsi les quatre droites $D$, $MA'$, $M'A$, $am$ sont concourantes en $U$.
On passe ensuite à la limite en faisant tendre $m$ vers $a$, ce qui conserve les relations d'incidence.
La droite $ma$ tend vers la tangente en $a$ au graphe $\Gamma$, le point $M$ tend vers $A$, le point $M'$ tend vers $A'$.
Les droites $A'M$ et $AM'$ tendent vers la droite $AA'$ et le point $U$ tend vers un point $C$, intersection commune des droites $D$, $AA'$ et de la tangente en $a$ à $\Gamma$.
Amicalement
Pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pappus.


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour Pappus
"C'est exact mais je ne sais pas si tes lecteurs ont bien compris ton raisonnement car tu te refuses toujours à tracer le moindre graphe de f!
En gros le graphe de g est la tangente en O au graphe de f qui est une hyperbole passant par O, encore plus facile à tracer que celle du cas général!
Faire cette figure n'est quand même pas très difficile! "

Je m'y mélange les pinceaux avec tous ces graphes. Je pensais qu'il s'agissait de graphe au sens de Pierre. Dans ce cas, il est évident que le graphe de la perspectivité $f$ est la polaire $D$ de $\Omega $ par rapport à $\left( L,L^{\prime }\right) $ : pour paraphraser quelqu'un, d'après une défunte construction, si $M,N\in L$, les droites $Mf(N)$ et $Nf(M)$ se coupent sur $D$.
Si maintenant, on prend $\left( L,L^{\prime }\right) $ comme axes de coordonnées et $\Omega =\left( 1,1\right) $, avec $M=\left( t,0\right) $, on a $f\left( M\right) =\left( 0,\dfrac{t}{t-1}\right) $ et $g\left( M\right) =\left( 0,-t\right) $, ce qui donne les résultats que j'ai cités ($D$ a pour équation $x+y=0$).
Ci-dessous, la figure appelée de tes vœux (en tout cas, je l'espère). Comme dans le cas précédent, si je n'avais pas tracé cette figure, c'est parce que je ne m'en suis pas servi.
Amicalement. Poulbot



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par poulbot.


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Excuse moi si je me suis mal fait comprendre.
Alors pour plus de clarté, je répète la définition du graphe d'une correspondance entre deux droites $L$ et $L'$ du plan
Par correspondance, j'entends une bijection $f$, (quelle qu'elle soit, pas forcément projective), entre les droites $L$ et $L'$ complétées par leurs points à l'infini respectifs.
On identifie alors le plan affine au produit cartésien $L\times L'$ par:
$\varphi: L\times L' \longmapsto \mathcal P; (M,M')\mapsto m$
où le quadrilatère $OMmM'$ est un parallélogramme (avec $O=L\cap L'$).
Le graphe de $f$ est simplement l'image par $\varphi$ de l'ensemble $\cup_{M\in L}(M,f(M))$.
Si la correspondance $f$ est homographique, son axe d'homographie diffère en général de son graphe sauf dans le cas où $f$ est affine;
Amicalement
Pappus


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour Pappus et merci pour ces éclaircissements.
Dans ton problème $2D$ ci-dessus, te demandes de construire $g(M)$; mais pourquoi pas $f(M)$?
Soit $ABC$ un triangle du plan projectif. On se donne une paire $(D,D')$ de points du plan non situés sur les côtés du triangle $ABC$.
Soit $f$ la transformation projective fixant les points $A, B, C$ transformant $D$ en $D'$.
Construire $f(M)$ connaissant $A,B,C,D,D',M$.

Evidemment, vue la crise et le fait que ce problème est purement projectif, nous ne disposons que d'une règle.
Alors, à vos règles, géomètres!!
Amicalement. Poulbot
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Tu as raison!
La construction de $f(M)$ est elle aussi intéressante et d'autant plus intéressante qu'elle est indispensable à la construction du point $g(M)$ mais cela va sans dire car qui pourrait imaginer qu'on puisse calculer une application affine tangente sans la connaissance de la fonction qu'on doit différentier.
J'ai parlé de la construction du point $f(M)$, il y a des années, dans un fil à retrouver et dont je ne me souviens plus.
J'en avais profité à l'époque pour faire une macro de la construction de $f(M)$ connaissant les six points $A$, $B$, $C$, $D$, $D'$, $M$.
L'idée était de décomposer $f$ en un produit commutatif de trois homologies, idée basée sur le fait que les matrices diagonales inversibles forment un groupe commutatif, mais les groupes commutatifs et les matrices sont-ils encore au programme?
Amicalement
Pappus
PS
Effectivement en tant que problème projectif, la règle devrait suffire mais hélas on travaille dans un plan affine (complété projectivement) et il y a quelques parallèles à se farcir, ne serait-ce que pour tracer des graphes.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pappus.
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Disons que l'idée que j'ai derrière la tête est d'utiliser la notion de dérivée directionnelle ou dérivée au sens de Gateaux et il me semble qu'il y a trois directions qui s'imposent: celles des droites: $AB$, $AC$ et $AD$.
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Ayant quitté mon cours de Calcul différentiel depuis des décennies, je m'aperçois que j'ai sans doute fait une erreur de terminologie en parlant de dérivée directionnelle qui est ici un peu inutilement trop souple.
J'aurais dû parler plutôt de dérivée partielle suivant un vecteur c'est à dire de l'existence de la limite:
$\lim_{t \to 0} \dfrac{f(a+t.h)-f(a)} t$, où si on veut frimer un peu, $f$ est définie sur un ouvert d'un Banach contenant $a$ et à valeurs dans un autre Banach.
En tout cas dans la situation simple qui nous préoccupe, on reconstituera facilement l'application affine $g$ en regardant les restrictions de $f$ aux droites $AB$, $AC$ et $AD$.
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
La transformation projective $f$ laisse globalement invariante la droite $AB$ car elle conserve les droites et fixe les points $A$ et $B$.
Ainsi $f(A +t.\overrightarrow{AB}) \in AB$ et $f(A +t.\overrightarrow{AB})-f(A) =f(A +t.\overrightarrow{AB})- A\in \mathbb R\overrightarrow{AB}$.
Par suite $\overrightarrow g(\overrightarrow{AB})= \lim_{t\to 0}\dfrac{f(A +t.\overrightarrow{AB})-f(A)}t\in \mathbb R\overrightarrow{AB}$ prouvant que $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur propre de $\overrightarrow g$ et que la droite $AB$ est une droite globalement invariante de $g$.
On montre de même que $\overrightarrow{AC}$ est un vecteur propre de $\overrightarrow g$ et que la droite $AC$ est une droite globalement invariante de $g$.
Arrivé à ce stade, la connaissance des deux valeurs propres de $\overrightarrow g$ suffirait à le déterminer mais on va voir qu'en utilisant la restriction de $f$ à la droite $AD$, on peut se dispenser du calcul de ces valeurs propres.
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour Pappus
en fait, il suffit de trouver $g(D)$. La restriction de $f$ à la droite $AD$ est la perspectivité de $AD$ sur $AD'$ de centre $\Omega =BC\cap DD^{\prime }$. Il résulte alors de ce qui a été vu plus haut que $g(D)$ est le point commun à la droite $AD'$ et à la parallèle en $D$ à $A\Omega $.
Maintenant, si on projette $D$ et $g(D)$ en $U$ et $V$ sur $AB$ dans la direction de $AC$ et en $U'$ et $V'$ sur $AC$ dans la direction de $AB$, g est le produit commutatif de l'affinité d'axe $AC$ qui transforme $U$ en $V$ et de l'affinité d'axe $AB$ qui transforme $U'$ en $V'$.

Il est inutile de construire $f(M)$ (qui est sur la droite $Ag(M)$). Aussi je réitère mon petit problème : comment construire $f(M)$ à la règle seule à partir de $A,B,C,D,D',M$. Un jeu en vogue dans le temps : le gagnant était celui qui utilisait le moins de coups de règle; mais c'est une autre histoire.
Amicalement. Poulbot

PS : Une petite question pour les gens savants : les transformations $fg^{-1}$ et $gf^{-1}$ sont des - - a - - - - s.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par poulbot.


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Merci, mon cher Poulbot, d'avoir développé mon idée.
Evidemment ce petit exercice n'était qu'un exercice de style puisque les transformations projectives ont disparu à tout jamais de notre paysage.
Je me demande quand les transformations linéaires, dont elles sont les quotients, les suivront dans la tombe, sans doute plutôt qu'on ne le pense!
En ce qui concerne l'emploi de la règle, la construction de $g(D)$ utilise bien celle d'une parallèle.
Quant à la construction de $f(M)$, j'ai dit que $f$ se décomposait en produit de trois homologies et même de deux en s'y prenant bien.
Si $f$ est une homologie dont on connait le pôle, l'axe et une paire de points homologues, la construction à la règle du point $f(M)$ est classique et bien connue autrefois des pauvres forçats que nous étions de la géométrie descriptive qui en faisait grand usage!
J'ai dit que le calcul analytique de $g$ était très facile.
On se donne donc les points $D$ et $D'$ par leurs coordonnées barycentriques (homogènes), $D(u:v:w)$ et $D'(u':v':w')$ dans le triangle $ABC$, calculer $g$.
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Citation
Poulbot
PS : Une petite question pour les gens savants : les transformations $fg^{-1}$ et $gf^{-1}$ sont des - - a - - - - s.
Le nom que tu nous demandes de trouver est-il le nom usuel de cette transformation projective plane dans le défunt catalogue de ces transformations ou bien le nom usuel de la transformation linéaire dont elle est le quotient, laquelle transformation linéaire est encore très provisoirement dans nos programmes?
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour Pappus
pour faire apparaître $f(M)$ sur la figure précédente, il suffit, par exemple d'utiliser l'alignement de $A,g\left( D\right) g\left( B\right) \cap D^{\prime }B,g\left( D\right) g\left( M\right) \cap D^{\prime }f\left( M\right) $ et de $A,g\left( M\right) ,f\left( M\right) $.
Mais, évidemment, passer par $g\left( M\right) $ pour construire $f\left( M\right) $ n'est ni ce qu'il y a de plus simple, ni de plus naturel,ni de plus satisfaisant (utilisation de parallèles).
Pour ton petit calcul, dans le repère $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) $, si $M=\left( x,y\right) $, alors $g\left( M\right) =\left( \dfrac{uv^{\prime }}{vu^{\prime }}x,\dfrac{uw^{\prime }}{wu^{\prime }}y\right) $.
Amicalement. Poulbot
PS : Je n'avais pas vu ton dernier message. qui a croisé le mien; il s'agit du nom usuel de cette transformation projective plane dans le défunt catalogue de ces transformations.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par poulbot.
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Merci pour ce petit calcul de $g$, lequel était quand même indispensable pour prouver son existence, une existence dont nous nous étions servi dans sa construction géométrique!
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Pour les gens savants, le terme d'élation semble être un anglicisme du à Coxeter et relativement récent (???)
Voir, par exemple, Elation
Amicalement. Poulbot
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Voici une figure que j'ai dû donner il y a un bail, mais où mystère et boule de gomme!
$f$ est la transformation projective de points fixes $A$, $B$, $C$ transformant $D$ en $D'$.
On construit l'image $m'=f(m)$ de la façon suivante:
On choisit un point arbitraire $E$ sur la droite $AD$. Soit $F$ l'intersection des droites $BE$ et $CD'$.
Alors $f$ est le produit commutatif des trois homologies:
1° $g$ de centre $A$ d'axe $BC$ envoyant $D$ sur $E$.
2° $h$ de centre $B$ d'axe $CA$ envoyant $E$ sur $F$.
3° $k$ de centre $C$ d'axe $AB$ envoyant $F$ sur $D'$.
Sur ma figure $n=g(m)$, $p=h(n)$ et $m' =k(p)$.
On vérifie que $m'$ est indépendant du choix de $E$ sur la droite $AD$.
En particulier en choisissant $E = F = AD \cap CD'$, on est ramené au produit de deux homologies.
Amicalement
Pappus


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Merci et chapeau, Pappus (j'en étais resté à $3$ homologies).
Une petite vérification (parfaitement inutile d'ailleurs) :
Si, dans un repère projectif ayant $ABC$ comme triangle de référence, on a $D=\left( u:v:w\right) ,D^{\prime }=\left( u^{\prime }:v^{\prime }:w^{\prime }\right) ,M=\left( x:y:z\right) $; alors $E=AD\cap CD^{\prime }=\left( vu^{\prime }:vv^{\prime }:wv^{\prime }\right) $. Si $a$ est l'homologie de centre $A$, axe $BC$, pour laquelle $D\rightarrow E$ et $c$ celle de centre $C$, axe $AB$, pour laquelle $E\rightarrow D^{\prime }$,
on a $a\left( M\right) =\left( \dfrac{u^{\prime }}{u}x:\dfrac{v^{\prime }}{v}y:\dfrac{v^{\prime }}{v}z\right) $, $c\left( M\right) =\left( x:y:\dfrac{vw^{\prime }}{v^{\prime }w}z\right) $ et $ac\left( M\right) =ca\left( M\right) =\left( \dfrac{u^{\prime }}{u}x:\dfrac{v^{\prime }}{v}y:\dfrac{w^{\prime }}{w}z\right) =f\left( M\right) $.
Pour info, si $M'$ est l'image de $M$ par l'homologie de centre $O$, axe $\Delta $, pour laquelle $U\rightarrow U^{\prime }$, alors $O,M,M'$ sont alignés et $UM\cap U^{\prime }M^{\prime }\in \Delta $.
Amicalement. Poulbot



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Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Voici ma propre figure où j'ai tracé en rouge les constructions des homologies successives.
Amicalement
Pappus


Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Une remarque :
la belle construction de Pappus donne une construction rapide de l'image $M^{\ast }$ de $M$ par l'isoconjugaison par rapport à $ABC$ qui transforme $P$ en $P^{\ast }$ vu que c'est aussi l'image de $P$ par l'homographie de points fixes $A,B,C$ qui transforme $M$ en $P^{\ast }$.
Amicalement. Poulbot
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Bonjour,

En résumé, le premier exercice consiste à se souvenir de ce que l'application linéaire tangente à une fonction est l'application qui décrit l'hyperplan tangent à l'hypersurface qui est le graphe de la fonction initiale. Il se pourrait même que ce soit la définition, et que l'exercice soit principalement destiné à tester qui voit et qui ne voit pas de quoi causent les Christoffels.

On prend $A=A$, $B=A'$, $C=O$ comme triangle de référence. On définit les paramètres $t,s$ par $M=A+t\, C\in AC$, $N=B+s\, C\in BC$. Supposons que $s$ soit une fonction de $t$, i.e. $s=\phi\left(t\right)$. Par définition, le graphe de $\phi$ est formé des couples $\left(M,N\right)$. Si nous matérialisons un tel couple en choisissant $A-C$ et $B-C$ comme directions d'axes, alors le point correspondant sur le graphe est $G(t)$ \[ G\left(t\right)\doteq N+M-C\simeq\left(\begin{array}{c} s+1\\ t+1\\ st-1 \end{array}\right) \]

Introduisons la variation $t\mapsto t+\delta t$, $s\mapsto s+K\,\delta t$ et calculons $G\left(t\right)\wedge G\left(t+\delta t\right)$. On vérifie que $\delta t$ vient se mettre en facteur. On simplifie et on obtient la variété tangente en faisant $\delta t=0$, $K=\phi'\left(t\right)$. Il vient: \[ G\left(t\right)\wedge\frac{\partial G\left(t\right)}{\partial t}=\left(s+1\right)\,\left[1,-s,1\right]-\phi'\left(t\right)\times\left(t+1\right)\,\left[-t,1,1\right] \] On a donc: la tangente en un point est combinaison linéaire des tangentes en ce point à l'application constante $z\mapsto s$ et à la mesure de Dirac en $z=t$, tandis que la dérivée caractérise la proportion entre les coefficients de cette combinaison linéaire.

Définissons maintenant la droite $D$ comme étant la tripolaire de $P=p:q:r$. Appelons $P_{a},P_{b},P_{c}$ les cocéviens de $P$ et construisons $U=D\cap MB$, $N=UA\cap CB$. Alors: \[ \begin{array}{c|ccc|c} t & M & U & N & s\\ \hline 0 & A & P_{c} & B & 0\\ \infty & C & P_{a} & P_{a} & -r/q\\ -r/p & P_{b} & P_{b} & B-C & \infty \end{array} \]

Il est tout à fait évident que la correspondance $M\mapsto N$ induit une homographie $\phi$ entre les paramètres. Étant connue en trois points, $\phi$ est connue tout entière: \[ \phi\left(z\right)=\dfrac{-pr\, z}{pq\ z+qr} \]

Appliquant la formule ci-dessus, on obtient le point \[ G\left(t\right)=\left(\begin{array}{c} p\left(r-q\right)t-qr\\ -pqt^{2}-\left(p+r\right)qt-qr\\ prt^{2}+pqt+qr \end{array}\right) \] qui décrit une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à $CA$ et $CB$. Posant $G_{A}=A+B-C$, nous avons $U_{\infty}=D\cap BG_{A}$ et $U_{x}=D\cap AG_{A}$. On en déduit $N_{\infty}$ et $M_{x}$, selon le tableau: \[
\begin{array}{c|ccc|c|c} t & M & U & N & s & G\\ \hline 0 & A & P_{c} & B & 0 & A+B-C\\ \infty & C & P_{a} & P_{a} & -r/q & P_{a}\\ -r/p & P_{b} & P_{b} & B-C & \infty & P_{b}\\ -1 & A-C & U_{\infty} & N_{\infty} & pr\div\left(qr-pq\right) & A-C\\ qr\div\left(pr-pq\right) & M_{x} & U_{x} & B-C & -1 & B-C \end{array}
\] Puis le centre de l'hyperbole. Nous pouvons alors tracer l'hyperbole elle-même, puisque nous en connaissons six points à distance finie.

Pour ce qui est de l'application linéaire tangente $\Phi'\left(M\right)$, nous avons déjà indiqué qu'il s'agit tout simplement de la fonction dont le graphe est la tangente en $M$ à l'hyperbole qui, elle, est le graphe de $\Phi$. La question se résume donc à montrer que la tangente $\Delta_{A}$ en $A$ passe par $U_{a}=P_{c}$. Utilisant $\phi'\left(0\right)=-p/q$, on obtient \[ \Delta_{A}\doteq\left.\left(G\left(t\right)\wedge\frac{\partial G\left(t\right)}{\partial t}\right)\right|_{t=0}\simeq\left[1,0,1\right]+\frac{p}{q}\,\left[0,1,1\right]\simeq\left[q,p,p+q\right] \] Et l'on en conclut que $D,$ $AB$ et $\Delta_{A}$ passent toutes par $P_{c}=U_{A}=p:-q:0$.

Plus généralement, on considère deux valeurs du paramètre $t$ (que l'on note $t$ et $\tau$). On calcule $U_{t\tau}$, le Pappus des points (l'intersection en croisant, par opposition au Desargues qui est l'intersection en ne croisant pas). Cela donne \[ U_{t\tau}\doteq\left(M_{t}\wedge N_{\tau}\right)\wedge\left(M_{\tau}\wedge N_{t}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} -r^{2}\times p\\ \left(pt+r\right)\left(p\tau+r\right)q\\ -\left(p^{2}t\tau+prt+pr\tau\right)r \end{array}\right) \] Ce résultat montre que le lieu des $U_{t\tau}$ est $D$, la tripolaire de $P$ (c'est la définition de l'axe de correspondance homographique) et que $G_{t}G_{\tau}$ passe aussi par le point $U_{t\tau}$.

Cordialement, Pierre
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Tu posais la question suivante
Citation
Poulbot
PS : Une petite question pour les gens savants :
> les transformations $fg^{-1}$ et $gf^{-1}$ sont
> des - - a - - - - s.
Je pense que ce sont des homologies spéciales dont le pôle $A$ est situé sur l'axe.
Je l'ai vérifié avec Cabri, reste à déterminer les axes et une paire de points homologues.
Amicalement
Pappus
Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Oui élation (or Yes elation) Coxeter dixit
Voir (or look at) Elation
Quant à Coxeter, étant donnés un point $O$ et une droite $D$, il considère les transformations projectives laissant invariants les points de $D$ et les droites passant par $O$ : ce sont des homologies si $O\notin D$ et des élations si $O\in D$, ce qui correspond tout à fait à ce que tu disais.
Amicalement. Poulbot



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Re: Application Affine Tangente
il y a trois années
Mon cher Poulbot
Si la terminologie a l'air d'être fixée chez nos amis anglo-saxons, elle ne l'est pas chez nous.
Sidler utilise le terme d'homologie spéciale pour nommer ce type de transformation projective plane et c'est pourquoi je les avais ainsi appelées.
Quoiqu'il en soit, j'ai fait les calculs jusqu'au bout. Ils ne sont pas si terribles, de la simple algèbre linéaire en dimension 3 mais valent-ils la peine que je les détaille puisque la géométrie projective a sombré dans l'oubli pour l'éternité. Alors à quoi bon!
Et voici ce que j'ai trouvé pour ton information personnelle.
La droite $\Delta$ tracée en rouge est la droite limite objet de $f$, autrement dit: $f(\Delta) =L_{\infty}$, i.e l'image de la droite $\Delta$ par $f$ est la droite de l'infini.
La droite $\Delta'$ tracée en violet est la droite limite image de $f$, autrement dit: $f(L_{\infty}) =\Delta$, i.e l'image de la droite de l'infini $L_{\infty}$ par $f$ est $\Delta$.
Il est facile de voir que ces deux droites sont isotomiques par rapport au triangle $ABC$.
La droite $L$, (tracée en rouge), issue de $A$ et parallèle à la droite $\Delta$ est l'axe de l'élation $g^{-1}\circ f$.
La droite $L'$, (tracée en violet), issue de $A$ et parallèle à la droite $\Delta'$ est l'axe de l'élation $f\circ g^{-1}$.
Amicalement
Pappus



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