Deux carrés dans un carré
Bonsoir à tous et joyeuses fêtes :-D
Encore un vieux problème qui traîne dans mes archives depuis longtemps : "Deux carrés de côtés $a$ et $b$ sont placés sans superposition dans un carré de côté $c$, montrer que $a+b\leq c.$"
Quelqu'un voit quelque chose de simple ?
Merci d'avance pour les réponses .
Domi
Encore un vieux problème qui traîne dans mes archives depuis longtemps : "Deux carrés de côtés $a$ et $b$ sont placés sans superposition dans un carré de côté $c$, montrer que $a+b\leq c.$"
Quelqu'un voit quelque chose de simple ?
Merci d'avance pour les réponses .
Domi
Réponses
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Merci beaucoup Poulbot (tu)
En fait ça revient à montrer que le plus grand carré inscrit dans un triangle rectangle est coincé dans l'angle droit . Le cas du plus grand carré inscrit dans un triangle quelconque a déjà été étudié plusieurs fois sur le forum.
Il est surprenant de voir que la borne supérieure de la somme des côtés de $n$ carrés inscrits sans superpositions dans un carré de côté 1 n'est toujours pas connue en toute généralité .
Domi -
Bonjour Domi
"Il est surprenant de voir que la borne supérieure de la somme des côtés de $n$ carrés inscrits sans superpositions dans un carré de côté $1$ n'est toujours pas connue en toute généralité ."
Tu seras peut-être intéressé à ce sujet par Conjectures Erdos et Campbell-Staton
Cordialement. Poulbot -
En effet , c'est très intéressant . "Il ne reste plus qu'à montrer" la vieille conjecture d'Erdös $f(k^2+1)\leq k$ pour connaître $f$ complètement .
Mais il y a tellement de façons de poser des carrés dans un carré de côté 1 .
Domi -
Déjà, pour $k=2$, cela semble très compliqué.
Cordialement. Poulbot -
Le cas $k=2$ est résolu et en effet ce n'est pas de la tarte .
Domi -
En tout cas, tu es mieux renseigné que ne l'étaient Staton et Campbell eux-mêmes puisque, dans l'article (Monthly 2005) où ils énonçaient leur conjecture, ils disaient ignorer si, à ce moment, $f\left( 5\right) =2$ avait été prouvé. Du coup, ils ont du le faire eux-mêmes puisqu'à le fin de l'article ils considèrent cette question comme réglée.
Ci-jointe, une copie de l'article en question.
Cordialement. Poulbot -
Merci , je vais lire la suite ( je n'avais accès qu'à la première page ) . La qualité de l'image n'est pas terrible , il n'y a pas possibilité d'avoir un pdf ? N'y passe pas des heures , c'est un simple caprice de fainéant pour une lecture plus aisée . L'article a presque 10 ans : quelqu'un a eu vent de progrès dans l'affaire ?
Domi -
Bonsoir Domi
tes désirs sont des ordres. (Voir plus haut)
Cordialement. Poulbot -
Trop sympa , merci !
Domi
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