Symétrie d'une fonction par rapport à droite

Wilfriedcourbe
Wilfriedcourbe
dans Géométrie
Bonjour les matheux,
j'aimerais construire la fonction symétrique à une autre par rapport à sa tangente en un point.
Nous avons la droite f'(a)(x-a)+f(a) = ax+b la tangente au point a de la fonction f(x). J'aimerais construire g(x), symétrie de f par ax+b. Aucune idée de comment je pourrais faire cela.

Avez-vous une idée ?

Réponses

  • remarque
    remarque
    De quelle symétrie s'agit-il ? Symétrique d'une fonction, ça ne veut pas dire grand-chose. J'imagine que tu veux parler d'un symétrique (à préciser pour quelle symétrie) de son graphe. Suivant la symétrie choisie, ce symétrique n'a pas de raison particulière d'être le graphe d'une fonction.
  • Jer anonyme
    Jer anonyme
    Ouille : $f'(a)(x-a)+f(a) = ax+b$ ? N'est-il pas maladroit que $a$ désigne à la fois l'abscisse du point en lequel on calcule la dérivée et le nombre $f'(a)$ ? Ceci peut-il être l'équation d'une droite, vu que l'ordonnée du point courant n'intervient pas ?

    Si la droite a pour équation $y=px+q$, le symétrique d'un point $(x,y)$ par rapport à la droite est $(x',y')$ avec :
    \[\begin{cases}\displaystyle x'=\frac{1-p^2}{1+p^2}x+\frac{2p}{1+p^2}y-\frac{2pq}{1+p^2}\\
    \displaystyle y'=\frac{2p}{1+p^2}x+\frac{p^2-1}{p^2+1}y+\frac{2q}{p^2+1}.\end{cases}\]

    On obtient un paramétrage de la courbe symétrique par rapport à la tangent au point d'abscisse $a$ en remplaçant $p$ par $f'(a)$, $q$ par $f(a)-af'(a)$, $x$ par $t$ et $y$ par $f(t)$ dans ces expressions mais comme le remarque remarque, il n'y a pas de raison que ce soit le graphe d'une fonction.40609
  • Wilfriedcourbe
    Wilfriedcourbe
    Ohh oui, désolé pour l'erreur, c'est bien y=px+q. Et c'est exatement ce que je cherchais, merci Jer anonyme. J'utilise excel pour une petite étude statistique et ce sont donc bien ces 2 équations que je cherchais, à la base, pour la symétrie. Mais la dernière solution est encore plus simple.
    Excusez-moi si j'ai utilisé un vocabulaire erroné, je n'ai que peu de connaissances dans cette partie des mathématiques.
  • Magic_Doctor
    Magic_Doctor
    Bonjour,

    Je m'immisce dans ce fil car ma question traite précisément de symétrie de courbe.

    J'ai une fonction simple : f(x) = a / (bx + c)
    Dans le cas précis de ma courbe :
    a = 147,14
    b = -0,4714
    c = 147,14

    x appartient à l'intervalle [0 ; 100]

    La courbe est légèrement incurvée en bas. Vue de "loin", c'est presque une droite.

    N'étant pas mathématicien, soyez indulgents quant à mes imprécisions sémantiques.

    Je voudrais tracer une courbe qui soit symétrique de celle-ci. Autrement dit, les points extrêmes seront les mêmes, mais cette fois la courbe (vue de "loin" presque une droite) sera légèrement incurvée en haut. Bref, ce serait comme si l'on retournait la courbe initiale vers le haut par rapport à un axe de symétrie imaginaire.
    Je ne sais pas si j'ai été clair...

    Il y aurait-il un moyen de trouver la fonction symétrique de la fonction initiale ?

    Un grand merci pour toute réponse.
  • Math Coss
    Math Coss
    Voici dans l'ordre :
    1. la courbe initiale $f_1(x)=\dfrac{a}{bx+c}$ ;
    2. la courbe $f_2(x)=f_1(100-x)$ ;
    3. la symétrique de la courbe de $f_1$ par rapport à la droite en noir (équations pénibles à écrire ; en paramétrique : $\bigl(1/1272435025163227523*(2998996065190272728289*x^2 - 936117119100641034328900*x + 12157500)/(2357*x - 735700),$
      $~~500/60384091813152419*(2683626304838000*x^2 - 268362630483800000*x - 88849152693872514369)/(2357*x - 735700)\bigr)$).
    70908
    70910
    70914
  • Magic_Doctor
    Magic_Doctor
    Loin d'être simple tout ça.
    Je n'ai pas compris le moyen d'y arriver.
    Mais merci pour votre intervention.
  • Math Coss
    Math Coss
    Pour faire plus simple, on peut faire une symétrie centrale à la place, par rapport au milieu du segment noir. Voici une figure (courbe verte) et la fonction :
    \[f_4(x)=\frac{2,\!4714x+212,\!134}{x+212,\!134}.\]Très proche de la symétrie par rapport à la droite noire mais différent, comparer les courbes verte et bleue sur la dernière figure.70918
    70920
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