Un résultat de Jean Victor Poncelet

Bonne nuit,

C'est immédiat avec Morley inscrit:
Le triangle de contact est $UVW$, et $G_A$ est $U$.
On a $A(a)$ avec $a=\dfrac{2vw}{v+w}$ et permutation circulaire.
On a $M_A(m_a)$ avec $m_a=\dfrac{u(s_2+vw)}{(u + v)(u + w)}$..
Le milieu $A'(a')$ de $[AG_A]$ est donné par $a'=\dfrac{s_2+vw}{2(v+w)}$.
Il n'y a plus qu'à vérifier que $a'\overline{m_a}-\overline{a'}m_a=0$.

Cordialement,

Rescassol

Bonne Nuit
Je précise ma figure.
Je considère les coniques inscrites tangentes en $G_A$ à la droite $BC$.
Si $\Gamma$ est une telle conique, son perspecteur $P$ décrit la droite $L =AG_A$.
L'isotomique $P'$ de $P$ décrit la droite $L'=AG'_A$, isotomique de L, passant par $A$ et le symétrique $G'_A$ de $G_A$ par rapport à $M_A$.
Le centre $\Omega$ de $\Gamma$ est le complément de $P'$ et son lieu est une droite homothétique de $L'$ dans l'homothétie de centre $G$, (le centre de gravité), et de rapport $-\dfrac 12$
Tao

Bonsoir Terminale S

Tao nous explique que $I$, $G$ et $N$, où $N$ est le point de Nagel, sont alignés.

(Le choix d'appeler N_A, le milieu de $AG_A$ n'est pas très clair.)

Bonjour Tao
"J'ose cette petite plaisanterie"
Ce n'est pas du tout une plaisanterie. Les pôles d'une droite donnée par rapport aux coniques d'un faisceau tangentiel sont alignés; c'est évidemment le cas aussi des centres des coniques du faisceau. Dans le cas des coniques tangentes à $AB$, à $AC$ et à $BC$ en $A^{\prime }$, les enveloppes décomposées du faisceau sont les paires de points $\left( A,A^{\prime }\right) $ et $\left( B,C\right) $ et le lieu des centres des coniques du faisceau est la droite joignant les milieux de ces $2$ paires de points.
Cordialement. Poulbot

Bonjour Hyurts
quitte à m'attirer les réprimandes de notre maître et ami Pappus, que j'espère, comme vous tous, revoir très bientôt sur ce forum, je dirais grossièrement que, de même qu'une conique ponctuelle dégénérée se décompose en $2$ droites, une conique tangentielle dégénérée se décompose en $2$ points (en fait, on - en tout cas moi - préfère parler d'enveloppe décomposée).
Plus précisément, l'équation tangentielle d'une conique, condition pour que la droite $ux+vy+wz=0$ lui soit tangente, est $q\left( u,v,w\right) =0$ où $q$ est une forme quadratique. Quand $q$ se décompose en produit de deux formes linéaires, $q\left( u,v,w\right) =0$ est la condition pour que la droite passe par l'un ou l'autre de $2$ points $A$ et $B$ (éventuellement, d'ailleurs, $A=B$). On parle alors d'enveloppe décomposée en la paire de points $\left( A,B\right) $. Ce n'est rien d'autre que la notion duale du fait que les points d'une conique dégénérée sont sur l'une ou l'autre de $2$ droites.
Evidemment, on peut théoriser cela mais j'ai essayé d'être le plus concret possible.
Cordialement. Poulbot

Re-bonjour
En restant terre à terre, il est évident que $\begin{vmatrix}0&a&a\\1&b&s-c\\1&c&s-b\end{vmatrix}=0$. En prenant pour $s$ le demi-périmètre de $ABC$, on obtient le résultat de Poncelet.
Cela dit, je serais curieux de savoir comment Poncelet s'y est pris.
Cordialement. Poulbot

Bonjour,

un schéma de preuve

1. G’a, M’a les symétriques de Ga resp. par rapport à Ma, I
2. A, M’a et G’a sont alignés (par exemple par petit théorème de Pappus suivi de Desargues)
3. (MaI) passe par le milieu de [AGa] (en pensant à la droite de smilieux d’un triangle).

Sincèrement
Jean-Louis

Bonjour
Sans commentaires!
Tao

Bonjour Yanngûyen

as-tu d'autres exercices amusants à nous proposer ?