Poncelet, toujours jeune

C'était une question d'oral de Baccalauréat autrefois et je suis à peu près sûr que cet exo est une question de cours du Lebossé-Hémery. Il faudra que quelqu'un le vérifie.
On applique deux fois le théorème de Poncelet:
la droite $FP$ est la bissectrice de l'angle de vecteurs $(\overrightarrow{FU},\overrightarrow{FM})$ et la droite $FQ$ est la bissectrice de l'angle de vecteurs $(\overrightarrow{FM},\overrightarrow{FV})$.
Il en résulte que:
$(FP,FM) =\dfrac 12 (\overrightarrow{FU},\overrightarrow{FM})$ et $(FM,FQ) =\dfrac 12 (\overrightarrow{FM},\overrightarrow{FV})$.
En additionnant on trouve: $(FP,FQ)=\dfrac 12 (\overrightarrow{FU},\overrightarrow{FV})$.
La réciproque est intéressante et devrait figurer dans le Lebossé-Hémery.
Tao

Bonjour Pierre.

La propriété d'isogonalité est souvent appelée le second théorème de Poncelet. elle se démontre projectivement de façon amusante en considérant un faisceau linéaire de coniques homofocales et elle permet accessoirement de montrer qu'en un point d'une conique à centre, la tangente et la normale sont les rayons vecteurs des bissectrices

Bruno

@Afif
La réciproque est la suivante:
Une droite variable coupe la droite $D$ en un point $M$ et la droite $D'$ en un point $M'$ de façon que l'angle orienté de droites $(FM,FM')$ soit constant.
Alors l'enveloppe de la droite $MM'$ est une conique de foyer $F$ tangente à $D$ et $D'$ et dont l'excentricité devrait être donnée par une belle formule à rechercher dans le Lebossé-Hémery, du moins je l'espère!
Tao

Bonjour.

Pour l'isogonalité des foyers et l'orthogonalité des tangentes et bissectrices, il suffit de remarquer que la famille des coniques homofocales de foyers $F$ et $F'$ a une structure de faisceau linéaire tangentiel de coniques et d’appliquer le théorème sur l'involution créée par un faisceau sur une droite. Cependant, la droite est, évidemment, une droite projective duale, c'est-à-dire l'ensemble des droites passant par un point $M$ fixé.

Regardons-y de plus près ; si je me donne un faisceau linéaire tangentiel et une droite du plan, les coniques du faisceau définissent une involution de la droite. Par dualité, les coniques du faisceau tangentiel définissent une involution du faisceau $\langle M\rangle$ qui est notre droite duale. Cette involution $h$ fonctionne de la façon suivante : si je me donne une droite $\mathcal D \in \langle M\rangle$, il existe une unique conique $\mathfrak C$ du faisceau qui est tangente à cette droite et $h(\mathcal D)$ est la seconde tangente issue de $M$ à la conique ; il est clair que $h$ est bijective et algébrique ; c'est donc bien une homographie et elle est trivialement involutive. En considérant la conique impropre $\langle F\rangle \cup \langle F'\rangle$ on en déduit $h\big((MF)\big) = (MF')$. Maintenant, on sait qu'une droite et son image par $h$ sont conjuguées par rapport aux droite doubles de l'homographie. Quelles sont ces droites doubles ? Ce sont les tangentes aux deux coniques du faisceau qui passent par $M$. De plus, il est clair que les isotropes du point $M$ se correspondent par $h$ car, si les points $I$ et $J$ sont les points cycliques, la conique impropre $\langle I\rangle \cup \langle J\rangle$ est une conique du faisceau tangentiel. Il s'ensuit que les droites doubles sont perpendiculaires. Enfin, si $\mathfrak C$ est une conique de foyer $F$ et $F'$, non seulement les droites $(MF)$ et $(MF')$ se correspondent par $h$, mais les tangentes issue de $M$ à la conique également ; ce qui prouvent que les droites doubles sont les bissectrices communes d'où l'isogonalité.

Bruno

P.S. Je suis peut-être un peu succinct (je rentre ce soir de l'hôpital relevant d'une pneumonie et suis un peu fatigué B-)) mais je reste à ta disposition pour tout complément.