Que représente ce point ?

Dom
Dom
dans Géométrie
Bonjour,

Je connais cet exercice depuis un certain temps. Il s'agit d'appliquer "le" théorème du point fixe pour le résoudre.
La coefficient contractant est un produit de sinus...donc strictement inférieur à 1 dans le contexte.
C'est intéressant en ce sens qu'on utilise un résultat d'analyse dans un cadre géométrique.
Mais là n'est pas le sujet.

Je me demande ce que ce point représente géométriquement ?
J'ai tenté de changer l'ordre des projetés, et on obtient un autre point.

Si vous avez des idées...

Je livre l'énoncé dans une image.41239

Réponses

  • Tao
    Tao
    Curieux que la configuration du second cercle de Lemoine intervienne deux fois en si peu de temps!
    La loi des séries sans doute?
    Tao41241
  • Dom
    Dom
    Ah ! Très bien. Merci.
    Je me disais bien qu'il y avait un truc de ce genre...mais mon expérience en géométrie m'a empêché de le voir.

    Merci encore Tao.

    Cordialement.
  • Tao
    Tao
    @Dom
    Il ne suffit pas de contempler la figure, encore faut-il la prouver!
    Ceci dit, le théorème du point fixe a une importance qui n'a rien à voir avec celle du premier cercle de Lemoine et même s'il a encore d'autres (minuscules) applications en géométrie du triangle, il vaut mieux te concentrer sur ses conséquences en calcul différentiel et dans la théorie des variétés comme le théorème des fonctions implicites ou le théorème du rang constant.
    Tao
  • Dom
    Dom
    J'ai été surpris par cette phrase "Il ne suffit pas ... prouver !" .
    C'est tellement une évidence que ma sucseptibilité a failli en prendre un coup. Comme on entend parfois : " Cela va sans dire. ".
    Mea Culpa. C'est forcément un bon conseil dans l'absolu.

    Merci Tao de votre bienveillance à mon égard, et plus généralement envers tous les lecteurs.
  • Dom
    Dom
    En effet le théorème du point fixe de Picard connaît des applications importantes en analyse (Mes premières idées sont l'approximation de solution d'équation, avec contrôle de l'erreur et, dans un domaine plus vaste, "le" Théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles).
    En fait, à une certaine époque, j'essayais de trouver des exemples dans d'autres domaines que l'analyse. Par exemple, en Algèbre, la méthode de Jacobi pour démontrer que l'inverse d'une matrice à diagonale dominante existe.

    Et j'avais trouvé celui-ci en géométrie.

    J'en profite pour demander si quelqu'un connaît d'autres applications du théorème du point fixe en géométrie ?
    Et en probabilités d'ailleurs ?

    Cela pourrait, je pense, être intéressant pour les agrégatifs.
  • Tao
    Tao
    Au lieu de faire ton exo avec trois droites du plan formant un triangle, tu peux le proposer avec $n$ droites dans un espace euclidien de dimension quelconque. Ca fait quand même plus class que de se confiner dans la désuète géométrie du triangle réservée à des vieux messieurs cacochymes!
    Tao
  • Dom
    Dom
    Amusant cette image. Ok, voilà une belle opportunité. Merci bien ;-)
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