À défaut d'une preuve géométrique du cas précédent, l'approche calculatoire par les multiplicateurs de Lagrange donne un seul point critique dans ce cas $\theta_1=\theta_2=\theta>\pi$ et on a apparemment dans ce cas $S''(\theta)-\lambda l''(\theta)>0$ donc c'est un minimum local, et donc le maximum est bien atteint sur le bord.
Voici comment on peut traiter le cas "6" sachant que le cas "2" :\begin{align*}
\text{Maximiser }& S(\theta_1)+S(\theta_2)\\ \text{sous la contrainte }& l(\theta_1)+l(\theta_2)=L\in\Bigl[2,2l\Bigl(\frac{3\pi}2\Bigr)\Bigr] \text{ et } (\theta_1,\theta_2)\in\Bigl[0,\frac{3\pi}2\Bigr]^2
\end{align*}admet un maximum global strict (l'ordre dans le couple $(\theta_1,\theta_2)$ est sans importance) pour
-- $\theta_1=\theta_2\in[0,\pi]$, si $L\in[2,\pi]$ ;
-- $\theta_1=2\pi-\theta_2\in[\frac\pi2,\frac{3\pi}2]$, si $L\in{]}\pi,\pi\sqrt2]$ ;
-- $\theta_1$ ou $\theta_2=\frac{3\pi}2$, si $L\in{]}\pi\sqrt2,\frac{3\pi}2\sqrt2]$.
Supposons le maximum atteint* dans le cas "6" :\begin{align*}
\text{Maximiser }& \sum_{i=1}^6 S(\theta_i)\\ \text{sous la contrainte }& \sum_{i=1}^6 l(\theta_i)=10 \text{ et } (\theta_1,\ldots,\theta_6)\in\Bigl[0,\frac{3\pi}2\Bigr]^6
\end{align*}et appelons un point de maximum $(\theta_1^\star,\ldots,\theta_6^\star)$ (l'ordre est sans importance).
-- S'il existe $i_0$ tel que $\theta_{i_0}^\star=\frac{3\pi}{2}$, alors on peut se ramener au cas "8" en remplaçant $\theta_{i_0}^\star$ par 3 angles de mesure $\frac{\pi}{2}$. L'aire du domaine délimité par les arcs dans ce cas $\bigl(2+\sum_{i=1}^6 S(\theta_i^\star)\bigr)$ est donc strictement inférieure à l'aire maximale du cas "8" $\bigl(3+\sum_{i=1}^8S(\theta_i^\mathrm{opt})\bigr)$.
-- Sinon, si $\theta^\star_i\ne\frac{3\pi}2$ pour tout $i$, alors $\theta_i^\star\in\{\theta^\star,2\pi-\theta^\star\}$. En effet dans le cas contraire, il existe $j,k$ tels que $\theta_j^\star\ne\theta_k^\star$ et $\theta_j^\star\ne2\pi-\theta_k^\star$, de plus on a supposé $\theta_j^\star,\theta_k^\star\ne\frac{3\pi}2$, donc d'après le cas "2" on peut faire strictement mieux avec deux angles égaux ou complémentaires ou un des angles égal à $\frac{3\pi}2$, à la place de $\theta_j^\star$ et $\theta_k^\star$. Contradiction.
Ensuite la contrainte impose $\sum_{i=1}^6 l(\theta_i^\star)=nl(\theta^\star)+(6-n)l(2\pi-\theta^\star)$ qu'on résoud pour $n=6,5,4,3$ en cherchant $\theta^\star\in[0,\pi]$ pour $n=6$ et $\theta^\star\in{]}\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2[$ pour $n=5,4,3$. Le calcul exhaustif des valeurs de $2+nS(\theta^\star)+(6-n)S(2\pi-\theta^\star)$ correspondantes montre qu'on fait strictement mieux dans le cas "8".
On peut faire une étude analogue du cas "4" pour l'éliminer à son tour.
Ça semble correct ?
* @remarque : comment rédigerais-tu le fait que le maximum est atteint par un argument de compacité ? Merci, et j'arrêterai là. :-D
@Amtagpa : pour te dire la vérité, je décroche un peu, là... Pour l'argument de compacité : la surface d'un seul bout de disque est fonction continue de l'angle sur $[0,2\pi[$. On additionne ces fonctions continues et les angles que l'on accepte sont dans un intervalle de la forme $[0,\alpha]$ avec $\alpha<2\pi$ par la contrainte de longueur. Il reste à voir que la contrainte est continue, ce qui me semble assez vrai, mais que j'ai eu peu la flemme de détailler.
Réponses
Pour cela, je crois qu'il faut regarder ce que donne le cas "2" avec $\theta_1,\theta_2\in[0,\frac{3\pi}2]$. Le cas qui pose problème est quand la longueur totale $L\in{]}\pi\sqrt{2},\frac{3\pi}2\sqrt{2}]$, et il semble que le max est atteint au bord du domaine dans ce cas ($\theta_1$ ou $\theta_2=\frac{3\pi}2$) : http://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize[{x/(8*Sin[x/2]^2)-1/4*Cotan[x/2]+y/(8*Sin[y/2]^2)-1/4*Cotan[y/2],x/(2*Sin[x/2])+y/(2*Sin[y/2])==5,x>=0,x<=3pi/2,y>=0,y<=3pi/2},{x,y}]&x=6&y=7
Y aurait-il une preuve géométrique de ce cas ?
Sinon, peut-être qu'il y a des infos dans cet article http://www.researchgate.net/publication/2691052_Two_Problems_Concerning_the_Area-perimeter_Ratio_of_Lattice-point-free_Regions_in_the_Plane (qui prouve la borne A/P<0.5828...), si tu as (ou d'autres ont) le courage/temps de regarder...
Voici comment on peut traiter le cas "6" sachant que le cas "2" :\begin{align*}
\text{Maximiser }& S(\theta_1)+S(\theta_2)\\ \text{sous la contrainte }& l(\theta_1)+l(\theta_2)=L\in\Bigl[2,2l\Bigl(\frac{3\pi}2\Bigr)\Bigr] \text{ et } (\theta_1,\theta_2)\in\Bigl[0,\frac{3\pi}2\Bigr]^2
\end{align*}admet un maximum global strict (l'ordre dans le couple $(\theta_1,\theta_2)$ est sans importance) pour
-- $\theta_1=\theta_2\in[0,\pi]$, si $L\in[2,\pi]$ ;
-- $\theta_1=2\pi-\theta_2\in[\frac\pi2,\frac{3\pi}2]$, si $L\in{]}\pi,\pi\sqrt2]$ ;
-- $\theta_1$ ou $\theta_2=\frac{3\pi}2$, si $L\in{]}\pi\sqrt2,\frac{3\pi}2\sqrt2]$.
Supposons le maximum atteint* dans le cas "6" :\begin{align*}
\text{Maximiser }& \sum_{i=1}^6 S(\theta_i)\\ \text{sous la contrainte }& \sum_{i=1}^6 l(\theta_i)=10 \text{ et } (\theta_1,\ldots,\theta_6)\in\Bigl[0,\frac{3\pi}2\Bigr]^6
\end{align*}et appelons un point de maximum $(\theta_1^\star,\ldots,\theta_6^\star)$ (l'ordre est sans importance).
-- S'il existe $i_0$ tel que $\theta_{i_0}^\star=\frac{3\pi}{2}$, alors on peut se ramener au cas "8" en remplaçant $\theta_{i_0}^\star$ par 3 angles de mesure $\frac{\pi}{2}$. L'aire du domaine délimité par les arcs dans ce cas $\bigl(2+\sum_{i=1}^6 S(\theta_i^\star)\bigr)$ est donc strictement inférieure à l'aire maximale du cas "8" $\bigl(3+\sum_{i=1}^8S(\theta_i^\mathrm{opt})\bigr)$.
-- Sinon, si $\theta^\star_i\ne\frac{3\pi}2$ pour tout $i$, alors $\theta_i^\star\in\{\theta^\star,2\pi-\theta^\star\}$. En effet dans le cas contraire, il existe $j,k$ tels que $\theta_j^\star\ne\theta_k^\star$ et $\theta_j^\star\ne2\pi-\theta_k^\star$, de plus on a supposé $\theta_j^\star,\theta_k^\star\ne\frac{3\pi}2$, donc d'après le cas "2" on peut faire strictement mieux avec deux angles égaux ou complémentaires ou un des angles égal à $\frac{3\pi}2$, à la place de $\theta_j^\star$ et $\theta_k^\star$. Contradiction.
Ensuite la contrainte impose $\sum_{i=1}^6 l(\theta_i^\star)=nl(\theta^\star)+(6-n)l(2\pi-\theta^\star)$ qu'on résoud pour $n=6,5,4,3$ en cherchant $\theta^\star\in[0,\pi]$ pour $n=6$ et $\theta^\star\in{]}\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2[$ pour $n=5,4,3$. Le calcul exhaustif des valeurs de $2+nS(\theta^\star)+(6-n)S(2\pi-\theta^\star)$ correspondantes montre qu'on fait strictement mieux dans le cas "8".
On peut faire une étude analogue du cas "4" pour l'éliminer à son tour.
Ça semble correct ?
* @remarque : comment rédigerais-tu le fait que le maximum est atteint par un argument de compacité ? Merci, et j'arrêterai là. :-D