Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
214 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

5 pour 1

Envoyé par Domi 
Re: 5 pour 1
il y a quatre années
Reste à justifier l'hypothèse que la courbe optimale s'appuie sur 8 points grinning smiley
Re: 5 pour 1
il y a quatre années
avatar
Eh oui... on n'en sort pas... sad smiley
Re: 5 pour 1
il y a quatre années
On peut peut-être essayer de faire la même chose pour "6" ? grinning smiley
Pour cela, je crois qu'il faut regarder ce que donne le cas "2" avec $\theta_1,\theta_2\in[0,\frac{3\pi}2]$. Le cas qui pose problème est quand la longueur totale $L\in{]}\pi\sqrt{2},\frac{3\pi}2\sqrt{2}]$, et il semble que le max est atteint au bord du domaine dans ce cas ($\theta_1$ ou $\theta_2=\frac{3\pi}2$) : [www.wolframalpha.com]
Y aurait-il une preuve géométrique de ce cas ?

Sinon, peut-être qu'il y a des infos dans cet article [www.researchgate.net] (qui prouve la borne A/P<0.5828...), si tu as (ou d'autres ont) le courage/temps de regarder...
Re: 5 pour 1
il y a quatre années
À défaut d'une preuve géométrique du cas précédent, l'approche calculatoire par les multiplicateurs de Lagrange donne un seul point critique dans ce cas $\theta_1=\theta_2=\theta>\pi$ et on a apparemment dans ce cas $S''(\theta)-\lambda l''(\theta)>0$ donc c'est un minimum local, et donc le maximum est bien atteint sur le bord.

Voici comment on peut traiter le cas "6" sachant que le cas "2" :\begin{align*}
\text{Maximiser }& S(\theta_1)+S(\theta_2)\\ \text{sous la contrainte }& l(\theta_1)+l(\theta_2)=L\in\Bigl[2,2l\Bigl(\frac{3\pi}2\Bigr)\Bigr] \text{ et } (\theta_1,\theta_2)\in\Bigl[0,\frac{3\pi}2\Bigr]^2
\end{align*}admet un maximum global strict (l'ordre dans le couple $(\theta_1,\theta_2)$ est sans importance) pour
-- $\theta_1=\theta_2\in[0,\pi]$, si $L\in[2,\pi]$ ;
-- $\theta_1=2\pi-\theta_2\in[\frac\pi2,\frac{3\pi}2]$, si $L\in{]}\pi,\pi\sqrt2]$ ;
-- $\theta_1$ ou $\theta_2=\frac{3\pi}2$, si $L\in{]}\pi\sqrt2,\frac{3\pi}2\sqrt2]$.

Supposons le maximum atteint* dans le cas "6" :\begin{align*}
\text{Maximiser }& \sum_{i=1}^6 S(\theta_i)\\ \text{sous la contrainte }& \sum_{i=1}^6 l(\theta_i)=10 \text{ et } (\theta_1,\ldots,\theta_6)\in\Bigl[0,\frac{3\pi}2\Bigr]^6
\end{align*}et appelons un point de maximum $(\theta_1^\star,\ldots,\theta_6^\star)$ (l'ordre est sans importance).

-- S'il existe $i_0$ tel que $\theta_{i_0}^\star=\frac{3\pi}{2}$, alors on peut se ramener au cas "8" en remplaçant $\theta_{i_0}^\star$ par 3 angles de mesure $\frac{\pi}{2}$. L'aire du domaine délimité par les arcs dans ce cas $\bigl(2+\sum_{i=1}^6 S(\theta_i^\star)\bigr)$ est donc strictement inférieure à l'aire maximale du cas "8" $\bigl(3+\sum_{i=1}^8S(\theta_i^\mathrm{opt})\bigr)$.

-- Sinon, si $\theta^\star_i\ne\frac{3\pi}2$ pour tout $i$, alors $\theta_i^\star\in\{\theta^\star,2\pi-\theta^\star\}$. En effet dans le cas contraire, il existe $j,k$ tels que $\theta_j^\star\ne\theta_k^\star$ et $\theta_j^\star\ne2\pi-\theta_k^\star$, de plus on a supposé $\theta_j^\star,\theta_k^\star\ne\frac{3\pi}2$, donc d'après le cas "2" on peut faire strictement mieux avec deux angles égaux ou complémentaires ou un des angles égal à $\frac{3\pi}2$, à la place de $\theta_j^\star$ et $\theta_k^\star$. Contradiction.
Ensuite la contrainte impose $\sum_{i=1}^6 l(\theta_i^\star)=nl(\theta^\star)+(6-n)l(2\pi-\theta^\star)$ qu'on résoud pour $n=6,5,4,3$ en cherchant $\theta^\star\in[0,\pi]$ pour $n=6$ et $\theta^\star\in{]}\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2[$ pour $n=5,4,3$. Le calcul exhaustif des valeurs de $2+nS(\theta^\star)+(6-n)S(2\pi-\theta^\star)$ correspondantes montre qu'on fait strictement mieux dans le cas "8".

On peut faire une étude analogue du cas "4" pour l'éliminer à son tour.

Ça semble correct ?
* @remarque : comment rédigerais-tu le fait que le maximum est atteint par un argument de compacité ? Merci, et j'arrêterai là. grinning smiley



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Amtagpa.
Re: 5 pour 1
il y a quatre années
avatar
@Amtagpa : pour te dire la vérité, je décroche un peu, là... Pour l'argument de compacité : la surface d'un seul bout de disque est fonction continue de l'angle sur $[0,2\pi[$. On additionne ces fonctions continues et les angles que l'on accepte sont dans un intervalle de la forme $[0,\alpha]$ avec $\alpha<2\pi$ par la contrainte de longueur. Il reste à voir que la contrainte est continue, ce qui me semble assez vrai, mais que j'ai eu peu la flemme de détailler.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par remarque.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 137 363, Messages: 1 329 768, Utilisateurs: 24 415.
Notre dernier utilisateur inscrit Radical-x.


Ce forum
Discussions: 8 086, Messages: 92 562.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page