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Trois points alignés

Envoyé par Jean-Louis Ayme 
Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,
un problème qui a aussi attiré mon attention…

1. ABC un triangle
2. (I) le cercle inscrit à ABC
3. DEF le triangle de contact de ABC
4. Li une droite passant par I
5. X le point d'intersection de Li et (BC)
6. Y le point d'intersection de la perpendiculaire à Li issue de B avec (DE)
7. Z le point d'intersection de la perpendiculaire à Li issue de C avec (DF).

Montrer que X, Y et Z sont alignés.

Sincèrement
Jean-Louis

[Contenu du fichier pdf joint. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - alignement.pdf (6.6 KB)
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,

Voilà déjà une figure:



Cordialement,

Rescassol
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,

Avec Morley inscrit, on peut paramétrer $Li$ comme étant $(IT)$, où l'affixe $t$ de $T$ est de module $1$.
La droite joignant les points $X,Y,Z$ a alors pour équation:
$(2t^2 - s_2 + u^2)z+((u(v + w) - vw + u^2)t^2 - 2s_3u)\overline{z}-4u(t^2 - vw)=0$.
Quand $t$ décrit $(I)$, cette droite passe par un point fixe $M(m)$ avec $m=\dfrac{4s_3}{(u+v)(u+w)}$.

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Rescassol.
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour!
Encore trois points alignés, Jean-Louis, tu nous gâtes!
Je vais en rajouter un quatrième pour faire bonne mesure!
La droite $XYZ$ passe par un point fixe, un des premiers points enseignés autrefois en géométrie du triangle mais ne figurant pas dans ETC!
Amicalement
pappus
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,

Bien sûr, Pappus, ce point que j'ai appelé $M$ est le centre du cercle exinscrit dans l'angle $\widehat{A}$, comme on disait dans l'ancien temps.

Cordialement,

Rescassol
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour à tous,

oui pour le point fixe... je le considère en premier dans ma preuve synthétique...
J'attends un début de preuve pour relancer ce problème...

Sincèrement
Jean-Louis
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,

On a $x=\dfrac{2t^2u}{t^2+u^2}$, $y=\dfrac{(u^2 + uw + vw - uv)t^2 - 2s_3u}{(u + w)(t^2 - uv)}$ et $z=\dfrac{(u^2 + uv + vw - uw)t^2 - 2s_3u}{(u + v)(t^2 - uw)}$.

Le point fixe n'est pas dans ETC en tant que point central du triangle $ABC$, mais il en est quand même fait mention, entre autres, dans la description de $I=X_1$.

Cordialement,

Rescassol
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,

La droite XYZ et les deux autres droites obtenues en permutant circulairement $u,v,w$ forment un triangle en perpective avec le triangle $ABC$.
Le perspecteur est $N(n)$ avec $n=\dfrac{2(s_2t^4-2s_1s_3t^2+3s_3^2)}{2s_1t^4-(s_1s_2+3s_3)t^2+2s_2s_3}$.
Quand $T$ décrit $(I)$, ce perspecteur décrit une ellipse circonscrite au triangle $ABC$.



Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Rescassol.
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonsoir,

Un équation complexe de cette ellipse est:
$s_1z^2 + (s_1s_2 - 3s_3)z\overline{z} + s_2s_3\overline{z}^2 - 4s_2z- 4s_1s_3\overline{z} + 12s_3 = 0 $.
Son centre est le Mittenpunkt $\dfrac{4s_3(s_1^2s_2 - 3s_1s_3 - 2s_2^2)}{(s_1s_2 - 9s_3)(s_1s_2 - s_3)}$.

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Rescassol.
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,

Cette ellipse est l'isogonale par rapport au triangle $ABC$ de la droite d'équation $\overline{s_1}z+s_1\overline{z}=6$ qui est la perpendiculaire à $(OI)$ au point de Schröder $X_{1155}=\dfrac{3s_3}{s_2}$ de $ABC$, $O$ étant le centre de son cercle circonscrit.

Cordialement,

Rescassol
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,
merci pour votre intérêt à ce problème du point de vue de ses conséquences....
Mais qu'en est-il de l'armorce d'une preuve synthétique?
Sincèrement
Jean-Louis
JLT
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
avatar
Etant donné un point $X\in (BC)$, on associe $Y\in (DE)$ défini par l'intersection de $(DE)$ avec la perpendiculaire à $(IX)$ passant par $B$, et de même on définit $Z$. Alors $X\mapsto Y$ et $X\mapsto Z$ sont projectives. Soit $X'$ l'intersection de $(YZ)$ avec $(BC)$. Alors $X\mapsto X'$ est projective. Il suffit donc de montrer que $X=X'$ pour trois points $X$ distincts.

1) Si $X=D$ c'est évident.

2) Si $X=B$, alors $(BY)$ est parallèle à $(DF)$, et $Z$ est le point à l'infini de $(DF)$, donc $X'=B=X$.

3) Si $X=C$ : analogue.
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,
merci pour cette première preuve...
Peut-on envisager une approche non projective?
Sincèrement
Jean-Louis
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour,

JLT, je ne crois pas que les applications projectives plaisent plus à JLA que la géométrie analytique complexe grinning smiley.

Cordialement,

Rescassol
Re: Trois points alignés
il y a quatre années
Bonjour à tous,
je rappelle simplement que je n'ai aucun a priori contre telle ou telle approche... je les accepte toutes... et chacun y trouve son propre plaisir qu'il partage sur ce site.
Je me suis aventuré dans une voie et j'essaye de voir si elle peut être fructueuse.
Il n'y a pas lieu de croire au sujet de ma personne.
Très sincèrement
Jean-Louis
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