Trois points alignés
dans Géométrie
Bonjour,
un problème qui a aussi attiré mon attention…
1. ABC un triangle
2. (I) le cercle inscrit à ABC
3. DEF le triangle de contact de ABC
4. Li une droite passant par I
5. X le point d'intersection de Li et (BC)
6. Y le point d'intersection de la perpendiculaire à Li issue de B avec (DE)
7. Z le point d'intersection de la perpendiculaire à Li issue de C avec (DF).
Montrer que X, Y et Z sont alignés.
Sincèrement
Jean-Louis
[Contenu du fichier pdf joint. AD]
un problème qui a aussi attiré mon attention…
1. ABC un triangle
2. (I) le cercle inscrit à ABC
3. DEF le triangle de contact de ABC
4. Li une droite passant par I
5. X le point d'intersection de Li et (BC)
6. Y le point d'intersection de la perpendiculaire à Li issue de B avec (DE)
7. Z le point d'intersection de la perpendiculaire à Li issue de C avec (DF).
Montrer que X, Y et Z sont alignés.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Voilà déjà une figure:
Cordialement,
Rescassol
Avec Morley inscrit, on peut paramétrer $Li$ comme étant $(IT)$, où l'affixe $t$ de $T$ est de module $1$.
La droite joignant les points $X,Y,Z$ a alors pour équation:
$(2t^2 - s_2 + u^2)z+((u(v + w) - vw + u^2)t^2 - 2s_3u)\overline{z}-4u(t^2 - vw)=0$.
Quand $t$ décrit $(I)$, cette droite passe par un point fixe $M(m)$ avec $m=\dfrac{4s_3}{(u+v)(u+w)}$.
Cordialement,
Rescassol
Encore trois points alignés, Jean-Louis, tu nous gâtes!
Je vais en rajouter un quatrième pour faire bonne mesure!
La droite $XYZ$ passe par un point fixe, un des premiers points enseignés autrefois en géométrie du triangle mais ne figurant pas dans ETC!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bien sûr, Pappus, ce point que j'ai appelé $M$ est le centre du cercle exinscrit dans l'angle $\widehat{A}$, comme on disait dans l'ancien temps.
Cordialement,
Rescassol
oui pour le point fixe... je le considère en premier dans ma preuve synthétique...
J'attends un début de preuve pour relancer ce problème...
Sincèrement
Jean-Louis
On a $x=\dfrac{2t^2u}{t^2+u^2}$, $y=\dfrac{(u^2 + uw + vw - uv)t^2 - 2s_3u}{(u + w)(t^2 - uv)}$ et $z=\dfrac{(u^2 + uv + vw - uw)t^2 - 2s_3u}{(u + v)(t^2 - uw)}$.
Le point fixe n'est pas dans ETC en tant que point central du triangle $ABC$, mais il en est quand même fait mention, entre autres, dans la description de $I=X_1$.
Cordialement,
Rescassol
La droite XYZ et les deux autres droites obtenues en permutant circulairement $u,v,w$ forment un triangle en perpective avec le triangle $ABC$.
Le perspecteur est $N(n)$ avec $n=\dfrac{2(s_2t^4-2s_1s_3t^2+3s_3^2)}{2s_1t^4-(s_1s_2+3s_3)t^2+2s_2s_3}$.
Quand $T$ décrit $(I)$, ce perspecteur décrit une ellipse circonscrite au triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
Un équation complexe de cette ellipse est:
$s_1z^2 + (s_1s_2 - 3s_3)z\overline{z} + s_2s_3\overline{z}^2 - 4s_2z- 4s_1s_3\overline{z} + 12s_3 = 0 $.
Son centre est le Mittenpunkt $\dfrac{4s_3(s_1^2s_2 - 3s_1s_3 - 2s_2^2)}{(s_1s_2 - 9s_3)(s_1s_2 - s_3)}$.
Cordialement,
Rescassol
Cette ellipse est l'isogonale par rapport au triangle $ABC$ de la droite d'équation $\overline{s_1}z+s_1\overline{z}=6$ qui est la perpendiculaire à $(OI)$ au point de Schröder $X_{1155}=\dfrac{3s_3}{s_2}$ de $ABC$, $O$ étant le centre de son cercle circonscrit.
Cordialement,
Rescassol
merci pour votre intérêt à ce problème du point de vue de ses conséquences....
Mais qu'en est-il de l'armorce d'une preuve synthétique?
Sincèrement
Jean-Louis
1) Si $X=D$ c'est évident.
2) Si $X=B$, alors $(BY)$ est parallèle à $(DF)$, et $Z$ est le point à l'infini de $(DF)$, donc $X'=B=X$.
3) Si $X=C$ : analogue.
merci pour cette première preuve...
Peut-on envisager une approche non projective?
Sincèrement
Jean-Louis
JLT, je ne crois pas que les applications projectives plaisent plus à JLA que la géométrie analytique complexe :-D.
Cordialement,
Rescassol
je rappelle simplement que je n'ai aucun a priori contre telle ou telle approche... je les accepte toutes... et chacun y trouve son propre plaisir qu'il partage sur ce site.
Je me suis aventuré dans une voie et j'essaye de voir si elle peut être fructueuse.
Il n'y a pas lieu de croire au sujet de ma personne.
Très sincèrement
Jean-Louis