Point fixe et inversion
dans Géométrie
Bonsoir,
Voici un exercice piqué dans le Lebossé-Hémery (programme de 1966, n°504 p.219).
On mène d'un point fixe $P$ deux sécantes variables $PAB$ et $PCD$ à un cercle $O$.
1) Démontrer que le lieu du point de rencontre $M$ des cercles $PAC$ et $PBD$ et du point de rencontre $N$ des cercles $PAD$ et $PBC$ est le cercle de diamètre $OP$.
2) Démontrer que la droite $MN$ passe par un point fixe $I$ de la droite $OP$.
Pour la question 1, j'applique l'inversion de centre $P$ laissant le cercle $O$ invariant. Les cercles $PAC$, $PBD$, $PAD$ et $PBC$ ont pour inverses respectifs les droites $BD$, $AC$, $BC$ et $AD$ et par conséquent les points $M$ et $N$ appartiennent à l'inverse de le polaire $\Delta$ de $P$ par rapport à $O$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $OP$.
Pour la question 2, je sèche. J'ai vu grâce à GeoGebra que $I$ est le pôle de $\Delta$ par rapport au cercle de diamètre OP, il me suffirait donc de montrer que le pôle de $MN$ par rapport à ce cercle appartient à $\Delta$...
J'imagine que la solution tient en une ligne, mais je ne vois pas !
Merci par avance
Voici un exercice piqué dans le Lebossé-Hémery (programme de 1966, n°504 p.219).
On mène d'un point fixe $P$ deux sécantes variables $PAB$ et $PCD$ à un cercle $O$.
1) Démontrer que le lieu du point de rencontre $M$ des cercles $PAC$ et $PBD$ et du point de rencontre $N$ des cercles $PAD$ et $PBC$ est le cercle de diamètre $OP$.
2) Démontrer que la droite $MN$ passe par un point fixe $I$ de la droite $OP$.
Pour la question 1, j'applique l'inversion de centre $P$ laissant le cercle $O$ invariant. Les cercles $PAC$, $PBD$, $PAD$ et $PBC$ ont pour inverses respectifs les droites $BD$, $AC$, $BC$ et $AD$ et par conséquent les points $M$ et $N$ appartiennent à l'inverse de le polaire $\Delta$ de $P$ par rapport à $O$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $OP$.
Pour la question 2, je sèche. J'ai vu grâce à GeoGebra que $I$ est le pôle de $\Delta$ par rapport au cercle de diamètre OP, il me suffirait donc de montrer que le pôle de $MN$ par rapport à ce cercle appartient à $\Delta$...
J'imagine que la solution tient en une ligne, mais je ne vois pas !
Merci par avance
Réponses
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Bonne Nuit
Soient $M'$ et $N'$ les inverses respectifs des points $M$ et $N$ par rapport au cercle.
Comme $PMN'\perp OMM'$ et $PM'N\perp ONN'$, le point $P$ est l'orthocentre du triangle $OM'N'$.
Le symétrique $I'$ de $P$ par rapport à la droite $M'N'$ est donc sur le cercle circonscrit au triangle $OM'N'$.
Son inverse $I$ est donc sur la droite $MN$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,
Nous pouvons aussi remarquer que M' et N' sont conjugués harmoniques par rapport aux points U et V (voir figure)
GM' x GN' = k
Traçons le cercle PM'N' qui coupe OP en I'
GP x GI' = k donc I' est fixe et de même son inverse I
Amicalement
Louis -
Bonsoir
Merci pour vos réponses, mais cette configuration commence à me rendre fou.
Comment prouver que $PMN'\perp OMM'$ ?
Comment prouver que $U$ et $V$ sont conjugués harmoniques ?
Merci,
Gilles -
Bonsoir Gilles
C'est la question 1) où on a, parait-il, montré que le point $M$ appartenait au cercle de diamètre $OP$.Gilles a écrit:Comment prouver que $PMN'\perp OMM'$ ?
On aurait pu aussi dire que le triangle $PMM'$ était autopolaire et que par suite le quadrangle $(O,P,M,M')$ était orthocentrique!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir Pappus,
OK pour le quadrangle $OPM'N'$ orthocentrique.
Par contre pour $PMN' \perp OMM'$, je dois être très fatigué, je ne vois pas. Le diamètre de $OMM'$ est $OM'$, il est invariant dans l'inversion etc. Mais encore ? Pourrais-tu m'expliquer un peu plus, merci.
Amicalement
Gilles -
Bonsoir Gilles,
Les droites et intersections avec le cercle(O) qui servent à construire les inverses M' et N' de M et N sont aussi celles qui servent à construire la polaire PM' de N' (voir la figure complétée)
Il s'en déduit que (U,V,M',N') = -1
Amicalement
Louis -
Bonsoir Louis,
Merci d'avoir pris le temps de me répondre. Effectivement c'est la base, mais sur le coup je ne l'ai pas vu ! On pourrait objecter que tu as implicitement pris $P$ du cercle $O$, mais en parlant de cercles orthogonaux au lieu de divisions harmoniques je contourne l'obstacle.
Pappus, en retravaillant les triangles autopolaires j'ai compris pourquoi les cercles de diamètres $PN'$ et $OM$, c'est-à-dire $PMN'$ et $OMM'$ sont orthogonaux, donc affaire classée (tu)
Ouf !
Merci à vous,
Bonne soirée -
M'N' est polaire de P ; PM' est polaire de N' .N'O, droite diamètre du cercle O est donc perpendiculaire à la polaire PM' DE N' . L'angle PMO est droit . N' ,M , O , alignés . PM' polaire de N' : N' conjugué de M' par rapport à U et V : N'M'UV =-1. Je vous propose une autre démo pour M,N,I, alignés . Soit l'inversion P , PB au carré . cercle O devient cercle O' ; le centre O a pour image I , pied de la polaire de P par rapport à (O') ; cette polaire est donc l'image du cercle OP .Appelons m et n les nouvelles images de M et N . Conjecture suggérée par la figure : MNI alignés ; pour le démontrer il suffit que OmnP soient cocycliques. MmnN cocycliques :angle Nnm=angle mMI ; MmIO cocycliques : angles IMm et IOm égaux donc angles Pnm, mOI égaux : PnmO cocycliques CQFD . excusez moi je n'ai pas encore les savoir- faire pour tracer et transmettre une figure .j'ai traité ce problème en 2006 et vous m'avez incité à le reprendre . j'ai le Lebossé Hémery de 1961 et j y ai retrouvé votre problème .
-
Bonsoir,
Tu pourrais faire un effort pour rendre ta prose plus agréable à lire.
Quelle page du Lebossé Hémery ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
j'ai traité synthétiquement la question 1 dans un précédent de mes articles le cas où P est intérieur au cercle...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Triangles adjacents.pdf p. 67-72.
Sincèrement
Jean-Louis -
Lebossé Hémery , programmes 1945 , édition 1961 , exercice numéro 446 , page 251 .
-
Je suis tout nouveau au club et c'est la première fois que j'envoie une contribution ; mes excuses donc . Il parait que I est pôle de M'N' par rapport au cercle OP ; je n'arrive pas à le démontrer .
-
Bonsoir,
Je ne l'ai pas trouvé dans mon édition de 1950 , programme 1947.
Cordialement,
Rescassol -
@ rescassol
"Programme 1947 " ? Tu es sûr ?
Bien cordialement. -
Bonjour,
Oui, programme 1947, édité par Fernand Nathan en 1950.
Titre: géométrie plane, classe de seconde des lycées et collèges.
Cordialement,
Rescassol -
On parle de Math Élem là !
-
Bonne nuit,
Yeepeeh, j'ai trouvé: exo numéro 504 p 216 de l'édition de 1969, programme 1966.
Bon, ça me fait une belle jambe.
Cordialement,
Rescassol -
@ Rescassol
Quand on évoque la Géométrie de Lebossé-Hémery, on pense généralement au manuel de Terminale, on disait Math-élem. Je posais cette question car il fait référence au programme de 1945 (et non 1947). Il a eu plusieurs éditions. Comme je l'ai déjà raconté, j'ai acheté d'occasion l'édition de 1958 en 1961, alors que j'étais lycéen. Par la suite, j'en ai trouvé deux autres éditions, 1955 et 1961, identiques quant au contenu me semble-t-il. Les programmes étaient durables.
Ce "programme de 1945" est présenté en tête du manuel, il tient en même pas deux pages, sans les boursouflures didacticiennes qu'on lit aujourd'hui jusqu'en prépa. Avec une phrase que j'aimerais revoir : "Toute liberté est laissée au professeur pour l'agencement de son cours". C'était l'bon temps...
Le manuel porte la mention "Classe de Mathématiques". Pourquoi pas "Mathématiques élémentaires", je ne sais.
Cet ouvrage de 428 pages, avec 860 exercices, est d'une extraordinaire richesse. Une recherche rapide sur Internet me donne à penser qu'il est difficile à trouver dans ses éditions d'autrefois. Jacques Gabay l'a réimprimé en 1997 et le propose pour la somme de 49 euros. Sur son site on trouve des indications sur les auteurs.
Bonne journée.
F. Ch.
, -
Bonjour,
Pour ma part je possède l'édition de 1958 (la même que toi donc), et aussi l'édition de 1967 avec les programmes de 1966. Livres payés 3 ou 4 € sur le Bon Coin il y a quelques années.
On trouve dans ce dernier davantage d'exercices sur les similitudes, inversions et leur composées (transpositions circulaires etc.). On sent l'arrivée de l'algèbre dans les programmes.
Bonne journée,
Gilles -
Bonjour,
C'est celui de droite sur la photo ci-dessus que je possède, plus que 336 pages et 798 exercices.
J'en ai aussi un de première et celui de seconde déjà cité.
Les livres ne sont pas donnés chez J.Gabay, je trouve.
Cordialement,
Rescassol -
mais qu'est-ce-qu'ils sont beaux (et tous appareillés) ...Rescassol écrivait:
Les livres ne sont pas donnés chez J.Gabay, je trouve. -
Les livres ne sont pas donnés chez J.Gabay, je trouve.
Chez http://www.calvage-et-mounet.fr/ non plus : -
C'est un faux : le vrai livre est d'Alain Debreil. Du coup, pas de garantie que le prix soit correct.
-
Bonjour,
Je l'ai précommandé à 39 euros chez Amazon France qui le promet pour le 12/01/2016.
Mail il y a la même erreur de prénom sur ma précommande.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour
Je crains que le prix de 73€ soit le bon !
Il faut noter que le livre fait 704 pages, et le prix tout comme la date de disponibilité en librairie sont de la responsabilité de l'éditeur et de l'imprimeur.
Alain -
Bonjour,
Cordialement,
Rescassol -
Merci Rescassol pour l'astuce.
La même chose m'est déjà arrivée sur je ne sais plus quel ouvrage, alors je viens de regarder sur différents sites marchands... et là bingo ! La Fnac n'a visiblement pas mis à jour le prix, le livre d'Alain est toujours à 39 €.
http://livre.fnac.com/a6433081/A-Debreil-Groupes-finis-et-treillis-de-leurs-sous-groupes#st=debreil groupes&ct=&t=p
Vous pouvez passer les précommandes. :-D -
Mouais, le prix de vente d'un livre est celui écrit dessus d'après la loi et non celui affiché.
A suivre. -
Le parallèle entre Jacques Gabay et Calvage & Mounet ne me semble pas pertinent.
Gabay ne fait pas même de la réédition, mais de la réimpression. Il reprend des ouvrages classiques, le plus souvent bien choisis pour leur intérêt bien connu, et les reproduit tels quels, sous sa couverture blanche que pour ma part je ne trouve pas si belle que ça, et avec une reliure peu solide. Et même parfois au format "oblong" comme il dit, soit deux pages reproduites côte-à-côte sur une page, comme une photocopie, et par exemple, il propose tout de même la "Topologie" de Kuratowski, présentée sous ce format, à 90 euros. Aucun frais, aucune valeur ajoutée, aucun risque, aucun droit d'auteur.
Le point positif, c'est qu'il rend possible l'acquisition d'ouvrages introuvables autrement, et de plus son site offre quelques renseignements sur les auteurs. Par exemple, on apprend que Lebossé se prénommait Camille et Hémery, Corentin. Moi j'aime bien apprendre ces petites choses. Mais cela ne justifie pas ces prix.
Toute autre est la situation de Calvage & Mounet, qui donne vie à des livres nouveaux et rétribue leurs auteurs, comme il se doit. Mais je n'ai pas besoin de développer car cet éditeur me semble jouir sur ce forum d'une estime méritée. Moi aussi, à la suite de Rescassol, je viens de passer commande du livre d'Alain Debreil.
Bonne soirée.
F. Ch. -
Effectivement le seul avantage de Gabay c'est de pouvoir trouver des ouvrages... introuvables, et rapidement. Et la qualité de numérisation est toujours très bonne.
Dès que je le peux, je privilégie un original qu'une réédition, fût-elle un peu fatiguée : plaisir du livre qui sent le vieux papier (ou pas d'ailleurs), livre plus facile à consulter qu'une réédition brochée trop serrée, et le prix, souvent bien inférieur.
Quand je vois le FGM d'exercices de Géométrie à 89 € chez Gabay alors que j'ai payé les miens 30 et 45 €... Celui du milieu proche du neuf, incroyable (au passage je signale le livre "2000 théorèmes et problèmes de géométrie" de Dalle, très intéressant aussi).
J'ai fait une exception pour les Exercices de géométrie de Papelier (9 tomes en un, bien pratique), et les Courbes spéciales remarquables de Teixeira que je guette depuis très longtemps sans jamais avoir vu passer une édition française en occasion sur le net. Les reliures sont très dures, difficile de travailler sur ces livres !!
Depuis quelques années, pullulent sur le net des réimpressions d'ouvrages à la demande (Forgotten Books, Nabu Press...). Ils ne s'embêtent ils impriment les fichiers PDF qu'on trouve librement sur les sites d'archives, mais c'est toujours moins cher que de les imprimer par soi-même si l'on veut travailler dessus.
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Bonjour!
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