Quatre carrés plus un

Jean-Louis Ayme · November 2015

Bonjour
Un problème personnel

1. ABCD un quadrilatère convexe
2. APDQ, BRAS, CTBU, DVCW quatre carrés notés dans le sens direct
Prouver : les milieux de [AC], [BD], [PT], [QU], [RV] et [SW] determinant un carré .

Sincerely
Jean-Louis

[Contenu du pdf joint. AD] 45721

pappus · November 2015

Mon cher Jean-Louis
Je pense que c'est une configuration archiconnue car je me souviens que mon prof de Terminales nous l'avait décrite au début des années 50.
Je suis à peu près sûr que la convexité de $ABCD$ n'a rien à faire dans cette histoire!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Jean-Louis Ayme · November 2015

Bonjour Pappus (F.) et à tous,

oui, cette configuration rappelle celle d'Edouard Collignon (ou van Aubel) avec ses carrés construits extérieurement.... mais ce qui surprend à première vue, c'est l'apparition du carré central.... Pour des raisons de lisibilité de la figure, je suis parti d'un quadrilatère convexe pour rester dans un cadre abordable pour beaucoup. Bien sûr avec des outils algébrisés nous pouvons nous en passer et même nous dispenser de tracer une figure.

Pour aller plus loin, je fais le lien avec la figure de Vecten et de ses développements qui a bien les observer livre une foule de résultat... Il en est de même pour la figure que je vous présente. Je pourrai même parler de figure iconique...

Par exemple, : QU² -PT² = 4.[ABCD]....

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol · November 2015

Bonjour,

Le code Matlab ci-dessous répond à la question. Il est assez simple.
Je précise que ce code n'utilise pas le fait que $i$ désigne le $i$ des complexes, ce qui permet une certaine généralisation.
Le fichier ggb ci-joint, dans lequel on peut bouger $A,B,C,D$, a été construit à partir des résultats du code.

clc, clear all, close all 

syms a b c d

p=((1-i)*d + (1+i)*a)/2; % Pour que APDQ soit un carré
q=((1+i)*d + (1-i)*a)/2;

r=((1-i)*a + (1+i)*b)/2; % Pour que BRAS soit un carré
s=((1+i)*a + (1-i)*b)/2;

t=((1-i)*b + (1+i)*c)/2; % Pour que CTBU soit un carré
u=((1+i)*b + (1-i)*c)/2;

v=((1-i)*c + (1+i)*d)/2; % Pour que DVCW soit un carré
w=((1+i)*c + (1-i)*d)/2;

mac=(a+c)/2; % Milieu Mac de [AC]
mpt=(p+t)/2; % Milieu Mpt de [PT]
mbd=(b+d)/2; % Milieu Mbd de [BD]
mqu=(q+u)/2; % Milieu Mqu de [QU]

m=((1+i)*mac + (1-i)*mbd)/2; % Pour que Mac M Mbd N soit un carré
n=((1-i)*mac + (1+i)*mbd)/2;

Nul2=factor(mpt-m) % Donc M = Mpt
Nul4=factor(mqu-n) % Donc N = Mqu, d'où le résultat

mrv=(r+v)/2; % Milieu Mrv de [RV]
msw=(s+w)/2; % Milieu Msw de [SW]

Nulrv=factor(mrv-mqu) % 0, donc Mil(R,V) = Mil(Q,U)
Nulsw=factor(msw-mpt) % 0, donc Mil(S,W) = Mil(P,T)

Cordialement,

Rescassol

soland · November 2015

Bonjour.
Une coordonnée complexe. A=0.
AS=a, SB=$i$a, BU=b, UC=$i$b ... QA=$i$d .
Le milieu de AC=(1+$i$)(a+b)/2
Etc. Tout tombe tout cuit.
Cordialement. 45727

Rescassol · November 2015

Bonjour Soland,

C'est la même chose que ce que j'ai fait, au choix du repère près.

Cordialement,

Rescassol

soland · November 2015

@Rescassol. J'aurais dû regarder avant...

Les 4 points de J.L. Ayme sont les centres de mes parallélogrammes
et les centres des rotations qui transforment l'un en l'autre.

Rescassol · November 2015

Bonne nuit,

Un petit ajout au code précédent:

syms aB bB cB dB % Conjugués de A,B,C,D

pB=((1+i)*dB + (1-i)*aB)/2; % Conjugués de P,Q,T,U
qB=((1-i)*dB + (1+i)*aB)/2;
tB=((1+i)*bB + (1-i)*cB)/2;
uB=((1-i)*bB + (1+i)*cB)/2;

QU2=factor((u-q)*(uB-qB)); % Carré de la distance QU
PT2=factor((t-p)*(tB-pB)); % Carré de la distance PT

A1=factor(QU2-PT2) % QU^2-PT^2

A2=factor(Aire(a,b,c,aB,bB,cB)+Aire(a,c,d,aB,cB,dB)) % Aire de ABCD

Nul=factor(A1-4*A2) % 0, donc QU^2-PT^2=4*Aire(ABCD)

Cordialement,

Rescassol

Jean-Louis Ayme · November 2015

Bonjour,

en fait, je suis parti de ce résultat QU² -PT² = 4.[ABCD] et de là tout s'est enchaîné...

Je propose de le prouver synthétiquement...
Quelles pistes peut-on envisager?

Sincèrement
Jean-Louis