Cercle osculateur passant par un point fixe

Bonsoir,
M(s)=(x(s),y(s)) avec s=abscisse curviligne. C(s) le centre de courbure en M(s). Calculer les coordonnées de C(s) en fonction de x,y et leurs dérivées. Terminer avec d(M,C)=d(O,C) pour dire que le cercle osculateur passe par O.

Il restera à résoudre l'équation différentielle qui en résulte.
Autre méthode : utiliser le paramétrage polaire qui donnera une équation plus facile à résoudre.

Une chose utile à savoir.
Soit un arc plan $\Gamma $ de classe $C^{2}$, birégulier. On peut le définir par une équation $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{G}(s)$, où $s$ est l'abscisse curviligne, qui décrit un intervalle $I$ de $\R$. On suppose que le rayon de courbure est $R=\varphi (s)$ et que la fonction $ \varphi $ est strictement positive et strictement croissante sur $I$.
C'est la situation habituelle pour les courbes usuelles, considérez par exemple un arc de parabole (hors sommet), de courbe exponentielle (hors sommet), ou autre.
Si $s_{1}\in I,s_{2}\in I$, $s_{1}<s_{2}$, alors le cercle osculateur relatif au point $M_{1}(s_{1})$ est situé strictement à l'intérieur du cercle osculateur relatif au point $M_{2}(s_{2})$, et l'arc $\overset {\frown} {M_{1} M_{2}}$ de $\Gamma$ est situé dans la zone du plan comprise entre ces deux cercles.
Il en résulte que deux cercles osculateurs ne peuvent avoir de point commun.
La question posée s'ensuit je pense.

Maintenant une question. Il y a déjà longtemps que nos prépas n'ont pas le droit de savoir ce qu'est un cercle osculateur, et depuis peu, même pas une courbure. Alors, dans quel secteur protégé de notre système d'enseignement a-t-on la chance de pouvoir encore rencontrer ce type de problème ?

Bonne journée.
F. Ch.

NB Je ne sais pas faire un chapeau d'arc en LaTex.
NB2. À présent je sais, merci jacquot. Pourvu que je n'oublie pas !