Géométrie (Audin)

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre certains passages du livre de géométrie de M. Audin. Je situe le contexte : après avoir démontré cette propriété «Étant donnés deux vecteurs unitaires d'un plan vectoriel, il existe une unique rotation qui envoie l'un sur l'autre», l'auteur définit les angles orientés de vecteurs. Soient $(u,v)$ et $(u',v')$ deux couples de vecteurs unitaires du plan. On définit la relation d'équivalence $\mathcal{R}_{1}$ par $(u,v)\mathcal{R}_{1}(u',v')$ si et seulement si il existe une rotation $f$ telle que $f(u)=u'$ et $f(v)=v'$. L'angle orienté de $u$ et $v$ est la classe d'équivalence de $(u,v)$ pour la relation $\mathcal{R}_{1}$. Dans le livre, l'ensemble des couples de vecteurs unitaires du plan est noté $\widehat{\mathcal{A}}$, celui des angles orientés est noté $\mathcal{A}$. Donc, on a $\mathcal{A} = \frac{\widehat{\mathcal{A}}}{\mathcal{R}_{1}}$. On démontre que $\mathcal{A}$ est un groupe. L'auteur définit l'angle orienté d'un couple de droites $(D,D')$ par la classe d'équivalence d'un couple de vecteurs $(u,u')$ ($u$ dirige $D$ et $u'$ dirige $D'$) par la relation d'équivalence $\mathcal{R}_{2}$ : $(u,u')\mathcal{R}_{2}(v,v')\Leftrightarrow ((u,u')\mathcal{R}_{1}(v,v')$ ou $(u,u')\mathcal{R}_{1}(-v,v'))$. Donc, si l'on note $\mathcal{B}$ l'ensemble des angles orientés de droites, on devrait pouvoir écrire que $\mathcal{B} = \frac{\widehat{\mathcal{A}}}{\mathcal{R}_{2}}$. Mais alors, je ne comprends pas la remarque suivante du livre : «L'ensemble des angles orientés de droites est un groupe, simplement comme quotient du groupe $\mathcal{A}$ par le sous-groupe d'ordre 2 engendré par l'angle plat.» On aurait donc $\mathcal{B} = \frac{\mathcal{A}}{(u,-u)}$ (où $(u,-u)$ désigne, par abus de notation, la classe de $(u,-u)$ modulo $\mathcal{R}_{1}$) ? C'est bizarre, parce qu'avec cette égalité, les angles de droites seraient des classes d'équivalence modulo le sous-groupe engendré par $(u,-u)$ de classes d'équivalence modulo $\mathcal{R}_{1}$. Les ensembles $\frac{\mathcal{A}}{(u,-u)}$ et $\frac{\widehat{\mathcal{A}}}{\mathcal{R}_{2}}$ ne contiennent pas des objets de même nature, non ? Le premier contient des «classes d'équivalences de classes d'équivalences», si je puis dire, alors que le second est constitué de classes d'équivalences «normales», c'est ça ?
J'ai besoin de votre aide, s'il vous plaît.

Merci.