Optimisation de périmètre

Bonjour,

A vérifier.

Coordonnées polaires.
La figure contient le point $O(0,0)$ et est fermée.
Comment s'écrit le périmètre ?
Comment s'écrit la surface ?
Multiplicateur d'Euler-Lagrange. Comment s'écrit la condition d'optimalité ?
Résolution de l'équation différentielle.
On peut remarquer que la densité lagrangienne ne dépend pas de $\theta$, l'angle polaire, et l'identité de Beltrami simplifie la résolution.

Bonjour Taimanov.

On ne peut pas maximiser le périmètre, pour une aire donnée il existe des figures (rectangle, par exemple) de périmètre aussi grand que l'on veut.
Par contre, on peut minimiser le périmètre, à aire donnée. Et le résultat sur le cercle qui dit qu'il maximise l'aire, à périmètre donné permet de montrer facilement qu'il minimise le périmètre, à aire donnée.

Le carré n'est pas le polygone qui maximise la surface à périmètre donné, les polygones réguliers font mieux, d'autant plus qu'ils ont plus de côtés (ressemblent plus au cercle. Il n'y a pas de polygone qui maximise la surface à périmètre donné.
Le carré est par contre le quadrilatère qui maximise la surface à périmètre donné.

Cordialement.

Effectivement,

avec un flocon de Von Koch, on a une aire finie limitée par une courbe de longueur infinie.

Je ne sais pas pour le collège, mais en lycée, trouver le rectangle de périmètre 1 et d'aire maximale est déjà difficile pour les élèves.

Pour chaque nombre de côtés le polygone régulier est celui qui entoure l'aire maximale, mais c'est compliqué à prouver !

Cordialement.

Tâtonner, c'est aussi faire des mathématiques.

Comme ceci ?
(A gauche $p=10$ et $s=4$, à droite $p=10$ et $s=5$).

Bonjour à tous

Il est vrai que le problème est très amusant si on demande aux sommets du polygone d'avoir des coordonnées entières . Trouver , par exemple , l'aire maximale d'un tel polygone dont le périmètre est inférieur ou égal à 100 ( il me semble avoir vu ça sur le forum il y a quelques années ) . Cela revient à cerner une aire maximale sur une planche à clous de taille 1 avec un élastique dont la longueur ne peut dépasser 100 .

Une variante : dans un carré dont les côtés sont portés par les lignes du quadrillage , trouver un polygone convexe inscrit avec un maximum de côtés . Parmi les polygones convexes inscrits , ce polygone réalise-t-il le périmètre ou l'aire le plus proche de ceux du disque inscrit ?

Domi

On a aussi une optimisation du périmètre lorsque la contrainte est un pavage.
On trouve que l'hexagone est la figure "la meilleure".


Voici une source : https://sciencetonnante.wordpress.com/2012/11/26/du-theoreme-du-nid-dabeille-a-la-conjecture-de-kelvin/

Je viens d'apprendre que dans l'espace, ce ne sont pas les abeilles qui servent de référence mais la bière, de quoi faire des EPI...

Remarque : cependant pour moi il s'agit d'une fable, cette histoire d'abeille ou de la nature dans ce problème là.
Il me semble qu'elles désirent construire des cylindre et qu'en se touchant, ces cylindres s'écrasent pour donner des hexagones. J'avais trouvé il y a longtemps une source qui disait "les abeilles fabriquent exprès des hexagones réguliers", mouais...