Un point sur une tangente à deux cercles
dans Géométrie
Bonjour à tous,
un problème de la littérature géométrique sur le carré…pour lequel une solution trigonométrique a été trouvée… je viens d’en trouver une synthétique… libre est de proposer une autre approche…
1. ABCD un carré
2. P un point de [CD]
3. (J), (K) les cercles inscrits resp. aux triangles PBC, PAD
4. L la seconde tangente commune extérieure à (J) et (K)
5. Z le point d’intersection de (AK) et (CD)
6. V le point d’intersection de la perpendiculaire à (AC) issue de Z
Question : V est sur L.
Sincerely
Jean-Louis
un problème de la littérature géométrique sur le carré…pour lequel une solution trigonométrique a été trouvée… je viens d’en trouver une synthétique… libre est de proposer une autre approche…
1. ABCD un carré
2. P un point de [CD]
3. (J), (K) les cercles inscrits resp. aux triangles PBC, PAD
4. L la seconde tangente commune extérieure à (J) et (K)
5. Z le point d’intersection de (AK) et (CD)
6. V le point d’intersection de la perpendiculaire à (AC) issue de Z
Question : V est sur L.
Sincerely
Jean-Louis
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Réponses
Quand il y a une certaine symétrie, je préfère qu'elle ne soit pas cachée.
Voilà comment j'ai construit ma figure:
D'abord le carré, $P$ sur $(BC)$ et les deux cercles inscrits.
Puis $Y$ et $Z$ les points d'intersections respectifs de $(BJ)$ et $(AK)$ avec $(CD)$.
$U$ et $V$ sont les projetés orthogonaux respectifs de $Y$ et $Z$ sur $(BD)$ et $(AC)$.
Il faut alors montrer que la droite $(UV)$ est tangente commune aux deux cercles.
Je n'ai pas plus de temps aujourd'hui.
Cordialement,
Rescassol
Au lieu de la perpendiculaire YU j'ai les cercles de diamètre DY et BY.
La présentation de Rescassol rétablissant la symétrie inhérente à la figure correspond au problème tel qu’il a été posé…
L’idée de Soland consistant à introduire le cercle de diamètre [AZ] fait partie de ma preuve…
Pour ma part, j’ai tenu à présenter le point dur du problème : V est sur L.
Pour y arriver, j’ai pensé à une vision trine en introduisant le cercle inscrit au triangle PAB…
Sincèrement
Jean-Louis
Attention : il n'y a pas de contact au bout de la flèche.
lvotre figure épuré peut conduire à une preuve... laquelle ?
Je reviens sur ma formulation :
en notant M, N les poiur d'intersection de L resp. avec (PA), (PB), il reste à montrer que V est sur (MN) et cela marche bien...
mais sans Reim pour faire un peu plaisir à pappus...
Sincèrement
Jean-Louis
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Common external tangent in a square.pdf
Sincèrement
Jean-Louis
$L$ est une tangente commune à tes trois cercles inscrits.
Je n'ai rien contre le théorème de Reim!
Amicalement
[small]p[/small]appus