Erdös revisité

Bonsoir.

Soit E un ensemble infini de points du plan euclidien tel que la distance entre 2 points de E est rationnelle.
Les points de l'ensemble E sont-ils alignés ?

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.

C'est une jolie question ; apparemment la réponse est non selon l'article suivant : [arxiv.org]

Bonjour,

Je lis difficilement l'anglais, aurais-tu un contre-exemple ?

Bonne journée.

D'après ce que j'ai compris de l'article, ils auraient montré que cet ensemble serait contenu dans un cercle ou sur une droite, c'est bien cela ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.

Non (je n'ai lu que l'abstract). Il semble dire qu'en dehors des cercles et des droites éventuellement, les autres courbes algébriques du plan de dimension 1 ne peuvent pas contenir un ratset* .

Mais, si j'ai bien lu, ils n'annoncent pas la résolution du célèbre problème ouvert (qui demande si un ratset peut être dense dans le plan).

* un ratset est un ensemble dont les éléments sont deux à deux à distance rationnelle.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi

Proposes-t-il un exemple où un tel ensemble, ne sont pas alignés ?

Bonjour,
un exemple avec des points non tous alignés.

On prend le point $(0\,;0)$ et les points d'abscisse 1 et d'ordonnée $\frac{u^2-v^2}{2uv}$ avec $u$ et $v$ entiers.

Si on veut des points sur un cercle il suffit,d'après l'article, de faire l'inversion de centre $(0\,;0)$ et de puissance 1.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par verdurin.

Oui, effectivement.

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