Bac Syrie 1934

Yannguyen · July 2016

Bonjour,
On faisait autrefois des mathématiques en Syrie.

Soit une pyramide ayant pour base $ABCD$ un demi-hexagone régulier, de côté de longueur $a=|AB|$. On suppose que la face $AED$ est un triangle équilatéral, dont le plan est perpendiculaire à la base.
Un plan passant par $BC$ coupe la face équilatère suivant $MM'$, avec $M\in AE$ et $M'\in DE$.

Calculer le volume $V(a,x)$ du tronc de prisme $ABCDMM'$ en fonction de $a$ et de $x=|AM|$.

Cdt
Yann

soland · July 2016

Quel est le côté long de ABCD ?

samok · July 2016

Je n'ai pas survécu à l'histoire du tronc de prisme. Pas d'erreur de recopie de l'énoncé ?

S

pappus · July 2016

Bonjour Yann
Vu son énoncé, il s'agit probablement d'un problème donné à la première partie du baccalauréat c'est à dire pour les classes de Première de cette époque!
Ayons une pensée pour nos frères syriens victimes d'un cauchemar qui ne veut pas dire son nom et souhaitons la fin prochaine de leurs souffrances.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Yannguyen · July 2016

Bonjour Soland
Pardon pour l'ambiguïté. Le côté long est $AD$.

Yannguyen · July 2016

Bonjour Samok,

Un prisme est un polyèdre engendré par une droite parallèle à une direction fixe, qui se meut le long d'un polygone plan.
Un tronc de prism est la partie de ce polyèdre coincée entre deux plans transverses à la direction.

skilveg · July 2016

Bonjour,

À première vue je trouve un volume de $\frac18\, a\, x\, (5a-x)$. 53991

Lake · July 2016

skilveg

>
>
> À première vue je trouve un volume de
> $\frac18\,a\,x\,(5a-x)$.

Je confirme; vérifiable avec un volume de pyramide lorsque $x=2a$

skilveg · July 2016

Oui, et c'est également cohérent avec le cas simple $x=a$.

Lake · July 2016

... et $x=0$...

pappus · July 2016

Bonjour
Je trouve la même chose que Skilveg mais si l'énoncé était celui de Yann sans autres d'indications, peu de bacheliers syriens ont dû trouver la formule de Skilveg.
J'ai regardé dans le Lebossé-Hemery, il ne donne pas le volume du tronc de prisme!
Il fallait donc décomposer ce tronc de prisme en réunion de pyramides.
Pour ma part voici comment j'ai fait.
Je note $O$ le milieu de $AD$, $N$ le milieu de $MM'$, $E$ le milieu de $CD$.
On dispose ainsi d'une section droite $ONE$ de notre surface prismatique.
Pour des raisons de symétrie par rapport au plan $ONE$, , le volume cherché est le double du tronc de prisme $ABEONM$.
Soit $S$ l'aire du triangle $ONE$.
Alors le volume du tronc $ABEONM$ vaut $\dfrac S 3(AO+BE+MN)$ en décomposant ce tronc en réunion de trois pyramides de base $ONE$ et de sommets $A$, $B$, $M$. Je me suis planté dans la décomposition, (j'ai du mal à voir dans l'espace!), mais ma formule reste exacte!
Le volume du tronc de prisme $ABCDMM'$ vaut donc $\dfrac S 3(AD+BC+MM')$
Le reste n'est plus qu'une question de calculs dans les nombreux triangles équilatéraux qui se présentent!
Amicalement
[small]p[/small]appus

skilveg · July 2016

Je pense que le fait que le volume d'un prisme est le produit de l'aire de la base par la moyenne des hauteurs est communément admis, non ? C'est l'analogue 3D de l'aire d'un trapèze.

pappus · July 2016

Mon cher Skilveg
Je ne connaissais pas cette formule!
J'ai dû la retrouver tout seul et comme je l'ai dit elle ne figure pas dans le Lebossé-Hémery qui était la bible des bacheliers de cette époque.
Je suppose que dans l'énoncé de ce problème de baccalauréat, il devait y avoir des questions intermédiaires où on demandait une preuve de cette formule.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Lake · July 2016

On pouvait se passer de cette formule:

Le volume cherché est le volume du prisme droit $AFJDIG$ auquel on retranche le double du volume de la pyramide $AFBMG$ de sommet $A$, de hauteur $AH$ et de base trapézoïdale. 53953

Yannguyen · July 2016

Bonjour pappus,

L'énoncé était à peu de choses près "presque" ça. On demandait à l'époque aux Syriens (et Libanais compris --- on est en 1934) plus qu'aux autres, car ils avaient la réputation d'être forts (? :-D)

Cela dit, en coupant avec le plan médiateur de $AD$, notre tronc de prisme est divisé en deux troncs de prismes droits de même volume, et l'on a une formule bien connue pour le volume des prismes droits...

La fonction $x\mapsto V(a,x)$ présente un maximum en $x=5a/2$. Que signifie cela géométriquement ?
Cdt,
Yann,

$\bullet$ P.S. Faudrait-il à ton avis démontrer auparavant, cher pappus, que les droites $MM'$ et $BC$ sont parallèles ?

$\bullet$ Pour Skilveg. Merci pour ta figure ! Dommage, cependant, que le quadrilatère $BCMM'$ y ait l'air d'être un parallélogramme !

pappus · July 2016

Mon cher Yann
C'est exactement ta méthode que j'ai suivie pour calculer ce volume.
Quant à la formule bien connue donnant le volume d'un tronc de prisme droit, je suis fort intéressé par les démonstrations qu'on en donnait à l'époque.
En ce qui concerne le parallélisme des droites $MM'$ et $BC$, bien sûr il fallait la démontrer mais pour le jeune libanais de Beyrouth ou le jeune syrien de Damas, ce n'était pas là le plus difficile.
Amicalement
[small]p[/small]appus

samok · July 2016

Merci pour la réponse, il n'était pas évident pour moi que la notation et les termes en français l'accompagnant renvoyait à ce solide.

S

skilveg · July 2016

Bonjour,

Effectivement, cette formule sur le volume d'un tronc de prisme n'a pas l'air si répandue que cela. Voici ce que j'ai trouvé dans un livre intitulé "Cours de géométrie élémentaire", par un certain Pascal (1835), et qui donne facilement le résultat :

489. Tout tronc de prisme triangulaire est équivalent à trois tétraèdres qui ont pour base commune une des bases du tronc, et pour sommets respectifs les trois sommets de la base opposée.

Soit le tronc ABCDGH ; par les sommets A, D, C, faisons passer un plan qui détachera d'abord le tétraèdre DABC, lequel aura pour base la base inférieure ABC du tronc, et pour sommet un des sommets D de la base supérieure; le reste sera une pyramide quadrangulaire DAHGC, qui pourra être divisée en deux tétraèdres par le plan DHC ; mais comme l'arête DB est parallèle au plan AHGC, on peut transporter le sommet commun D en B, et les deux tétraèdres DAHC, DHGC, seront remplacés par les deux autres tétraèdres BAHC, BHGC, qui, ayant mêmes bases et même hauteur que les premiers, leur seront équivalents.

Mais BAHC peut être considéré comme ayant pour base ABC et pour sommet H ; d'un autre côté BHGC, dont H peut être le sommet et le triangle BGC la base, pourra , en transportant le sommet H en A, être transformé en un autre tétraèdre ABCG, dont ABC serait la base et G le sommet ; donc on aura trois tétraèdres ayant pour base commune ABC, et pour sommets respectifs D, H, G.

L'idée ici est donc que si l'on fait glisser le sommet d'une pyramide sur une droite parallèle au plan de sa base, on conserve le volume de la pyramide.

@Yann : tu as raison, je modifie la figure !

pappus · July 2016

Bonjour
Puisque de toutes façons, la géométrie a disparu, autant se rabattre sur la Divine Analyse et son Intégration Sacrée!
Dans ce qui suit $T$ désigne l'intérieur d'un triangle $ABC$ d'aire $S$ du plan euclidien et $\varphi$ une fonction affine numérique définie sur le plan euclidien.
Tout revient à calculer $\int_T\varphi d\sigma$ où $d\sigma$ désigne l'élément d'aire
Si $M$ est le point de coordonnées barycentriques normalisées $(x,y,z)$, on a:
$\varphi(M)=x\varphi(A)+y\varphi(B)+z\varphi(C)$
Donc:
$$\int_T\varphi d\sigma=\varphi(A)\int_Tx d\sigma+\varphi(B)\int_Tyd\sigma+\varphi(C)\int_Tz d\sigma$$
Mais les intégrales $\int_Tx d\sigma$, $\int_Tyd\sigma$, $\int_Tz d\sigma$ sont égales.
Il suffit de faire opérer dessus le sous-groupe du groupe affine laissant globalement invariant l'ensemble $\{A,B,C\}$
Comme $\int_Tx d\sigma+\int_Tyd\sigma+\int_Tz d\sigma=\int_T(x+y+z) d\sigma= \int_T1 d\sigma=S$
On a: $\int_Tx d\sigma= \int_Ty d\sigma= \int_Tz d\sigma=\dfrac S3$
Ainsi :
$$\int_T\varphi d\sigma=\dfrac{\varphi(A)+\varphi(B)+\varphi(C)}3S$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · July 2016

Bonjour
Soit $ABCA'B'C'$ un prisme triangulaire quelconque, i.e: les segments $AA'$, $BB'$, $CC'$ sont parallèles mais les faces $ABC$ et $A'B'C'$ ne sont pas nécessairement parallèles.
Alors le volume de ce prisme est donné par la formule:
$V=\dfrac{AA'+BB'+CC'}3S$
où $S$ est l'aire d'une section droite du prisme c'est à dire l'aire du triangle intersection du prisme par un plan perpendiculaire aux arêtes parallèles $AA'$, $BB'$, $CC'$.
C'est une conséquence triviale de la formule donnant le volume d'un prisme droit.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je n'ai vu cette formule dans aucun des nombreux livres de classe de Première que je possède.
Sans doute n'était-elle pas dans les programmes de l'époque?

Lake · July 2016

Bonjour,

Voici ce qu' on trouve dans un Maillard et Millet Géométrie Classes de Première classique C et Moderne (1956)
Programme du 18 Avril 1947. 54009

Yannguyen · July 2016

Bonjour,

L'exercice proposé et le théorème donné par pappus et sa référence donnée par Lake se trouvent dans un livre intitulé Cours de géométrie par une réunion de professeurs (seconde et première) LIGEL, 77 rue de Vaugirard, Paris

La maison d'édition a disparu. Le prix actuel du m^2 dans l'immeuble varie suivant l'étage entre 11 000 et 20 000 €. Quelle maison d'édition peut encore avoir un pied à terre à elle dans Paris ?

Il s'agit du Bac syrien 1935 et non 1934. Et les Bacs syrien et libanais étaient déjà distincts, car il y a des énoncés avec la mention (Bac libanais).

Cdt
Yann