Intersection 3D
Le dessin représente la coupe d'un cône C et d'une sphère S par le plan contenant l'axe du cône et le centre de la sphère.
La sphère est tangente à une génératrice du cône exactement et coupe toutes les autres.
En projetant orthogonalement C$\cap$S sur un plan normal à l'axe du cône, on obtient une courbe plane bien connue. Laquelle ?
La sphère est tangente à une génératrice du cône exactement et coupe toutes les autres.
En projetant orthogonalement C$\cap$S sur un plan normal à l'axe du cône, on obtient une courbe plane bien connue. Laquelle ?
Réponses
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Bon après-midi
Le plus difficile est de choisir les bons axes.
Au départ, on prend un repère orthonormé dont l'origine est au centre de la sphère qui a donc pour équation:
$x^2+y^2+z^2=R^2$
Le sommet $A$ du cône a pour coordonnées: $(0, R\cos(\alpha), R\sin(\alpha))$
Le cône est un cône de révolution dont l'axe est la parallèle à $Oz$ passant par $A$ et d'ouverture angulaire $\alpha$
Pour avoir une équation simple de ce cône, le mieux est de translater les axes au point $A$:
$x=X$, $y=Y+R\cos(\alpha)$, $z=R\sin(\alpha)+Z$
L'équation du cône est alors:
$X^2+Y^2=Z^2\tan^2(\alpha)$
Celle de la sphère est:
$X^2+(Y+R\cos(\alpha))^2+(Z+R\sin(\alpha))^2=R^2$
c'est à dire: $X^2+Y^2+Z^2+2RY\cos(\alpha)+2RZ\sin(\alpha)=0$
Il s'agit maintenant d'éliminer $Z$ entre l'équation du cône et l'équation de la sphère.
Je l'ai fait dans un demi-sommeil et j'ai l'impression qu'on doit tomber sur une conchoïde de cercle.
Il doit donc y avoir une explication synthétique mais comme je l'ai dit, j'ai beaucoup de mal à voir dans l'espace avec ma cataracte!
Je dois faire maintenant ma méridienne!
Amicalement
[small]p[/small]appus
[small]p[/small]appus -
Cher pappus.
J'ai fait l'autre choix naturel pour le repère.
J'obtiens une quartique bicirculaire. Je ne dis pas encore laquelle.
Amicalement, soland. -
Méthode de brute, qui confirme la cardioïde (équation $((x^2+y^2)\,(1+t^2)-2\,t\,h\,x)^2-(2\,t\,h)^2\,(x^2+y^2)$) :
-
Bon après-midi
Merci GaBuZoMeu!
J'ai passé une bonne sieste et je n'ai plus rien à faire sauf peut-être à trouver une explication synthétique.
Mon intuition était bonne puisqu'une cardioïde est aussi une conchoïde de cercle!
C'est le genre d'exo qui devait être donné à l'oral de l'X, il y a quatre vingt ans mais qu'il est impossible de proposer aujourd'hui. Heureusement, il nous reste Sage et les anneaux de polynômes!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir
Voici l'épure de la figure de Soland!
Cela me rajeunit de 70 ans!
J'ai eu la flemme de mettre les étiquettes.
L'idée est simple.
On coupe la sphère et le cône par un plan horizontal variable.
On obtient deux cercles dont on prend les intersections et Cabri trace le lieu des intersections quand le plan varie.
Il faut noter qu'il y a 70 ans, on ne disposait pas de Cabri et qu'il fallait tracer suffisamment de points pour faire apparaitre la cardioïde!
Ceux qui faisaient l'épure avaient la moyenne. Ceux qui justifiaient la cardioïde avaient le max!
Mon épure est incomplète.
Complétez-la !
Je n'ai pas tracé la projection frontale.
Il fallait en plus faire l'épure du point courant de l'intersection avec sa tangente !
Amicalement .
[small]p[/small]appus
PS
On peut se baser sur cette épure pour écrire une solution synthétique -
Bonsoir
Cela m'inquiète un peu de ne pas trouver la même chose que Lake et GaBuZoMeu !
Ma cardioïde est "dextrogyre", les leurs sont "lévogyres"
J'ai dû faire une erreur quelque part!
En tout cas, je ne suis pas sûr de moi! Trop vieuzé sans doute!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir
Sur cette figure sujette à caution comme la précédente, j'ai rajouté la projection frontale qui est un arc de parabole sans doute osculateur en $a'$ au cercle qui passe par là!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Quelle que soit la véracité de mes figures, c'est en tout cas l'épure typique sur laquelle on pouvait tomber à l'écrit d'un grand concours à l'époque où j'étais en Taupe! -
Bonsoir
Il est probable que personne n'a fait d'erreur!
Sur la figure de Soland, le sommet du cône est vaguement du côté gauche de la sphère, alors que sur la mienne il serait plutôt à droite si tant est qu'on puisse parler de côtés de la sphère.
N'allez pas en déduire de moi un quelconque atavisme politique!
Ce qui m'inquiéterait plutôt dans la figure de Lake, c'est qu'on a l'impression que le point de rebroussement de la cardioïde est au centre de la sphère mais comme la figure n'est pas commentée, cela ne reste qu'une impression!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne nuit,
Sur ma figure, le cercle représente la base du cône vue de dessus. La sphère n' est pas représentée.
Très maladroitement, j' avais utilisé comme plan auxiliaire un plan vertical de bout variable qui donnait les intersections d' une hyperbole et d' un cercle. Geogebra appréciait moyennement...
Voici une nouvelle épure basée sur un plan auxilaire horizontal (merci pappus!). Geogebra s' en sort beaucoup mieux avec les intersections de deux cercles... -
Mon cher Lake
Je m'en étais douté sans en être sûr!!
Ta figure est plus claire que la mienne où les projections horizontale et frontale se chevauchent!
Tu as même tracé la projection sur un plan debout!
Tout ceci est si loin maintenant, cela me semble bizarre de tracer une épure mais je ne suis pas arrivé à faire resurgir les visages disparus à jamais!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Si on trace la parabole en entier, on la voit traverser au point $a'$ le cercle auquel elle est tangente, sans doute un minuscule problème de géométrie algébrique! -
Mode : Synthétique.
Soit p un point du cône et p' son image par une inversion 3D $\mathcal{J}$ de puissance $r^2$ centrée au sommet o du cône.
Soit q et q' les projections orthogonales de ces points sur le plan Pj passant par o et normal à l'axe du cône (figure 1). On a
$$
|\text{op}||\text{op}'| = r^2 \qquad\text{donc}\qquad |\text{oq}||\text{oq}'| = r^2\sin^2\alpha
$$
où $\alpha$ est le demi-angle d'ouverture du cône. q et q' sont donc images l'un de l'autre par l'inversion 2D $\mathcal{I}$ du plan Pj de puissance $r^2\sin^2\alpha$ centrée en o.
$\mathcal{J}$ transforme la sphère du problème en un plan qui coupe le cône (stable) en une parabole P (figure 2) que la projection orthogonale transforme en une autre parabole P'. $\mathcal{I}$ transforme P' en une cardioïde, solution attendue de ce problème.
Si l'on regarde le fil
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,1316770
sur les cônes de Quetelet, le faisceau de quadriques dont il y est question contient une sphère.
Il s'ensuit que si l'on projette l'intersection d'un cône et d'une sphère parallèlement à l'axe du cône sur un plan normal à cet axe, on obtient une quartique bicirculaire.
Modulo des conditions adéquates, on obtient un ovale de Descartes, un limaçon de Pascal elliptique ou hyperbolique ou une cardioïde. -
Merci Soland pour ce joli problème.
Toutes les solutions synthétique, algébrique et descriptive se complètent les unes les autres.
Aujourd'hui il ne reste plus que l'aspect algébrique et l'utilisation de Sage si bien mis en valeur par GaBuZoMeu!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Ce problème m' a permis de refaire un peu de descriptive; merci Soland! C' est ma foi bien plaisant...
Je me permets d' illustrer ta solution synthétique sur l' épure:
En projection frontale, la projection en bleu de la sphère d' inversion centrée au sommet du cône et de rayon $r$ quelconque.
Cette inversion envoie la sphère donnée sur le plan $P\alpha Q'$.
En projection horizontale, la parabole intersection de ce plan et du cône ainsi que le cercle d' inversion centré en $f$ (foyer de la parabole) et de rayon $r\,\sin\,\alpha$. La parabole est envoyée par cette inversion sur la cardioïde solution du problème.
Amicalement. -
Bonjour,
J'ai eu un peu de mal à retrouver ce fil dont je me souvenais très bien.
soland (ou d'autres!):
Ta démonstration utilise le fait que les foyers des deux paraboles, l'une résultant d'une section du cône par un plan et l'autre projection orthogonale de celle ci sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône, sont conservés dans cette projection.
Est-ce une propriété connue qui allait de soi ici ?
Lake. -
Je reprends ce que j'ai écrit qui doit être faux effectivement. Je pense que ta démonstration utilise ceci:
Une parabole résultant d'une section de cône de révolution par un plan ad hoc se projette sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône en une parabole dont le foyer est l'intersection de l'axe du cône et du plan de projection.
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Bonjour!
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