Angles orientés dans l'espace euclidien

Dans l'espace, seuls les angles géométriques sont légitimes (mesure modulo $\pi$).

Il y a (c'est habituel) confusion entre angle orienté et mesure d'un angle orienté. Dans le plan $(OAB)$, l'angle orienté $(\vec{OA},\vec{OB})$ est parfaitement défini sans qu'il y ait besoin d'orienter le plan. La preuve : la rotation d'axe la perpendiculaire au plan $(OAB)$ passant par $O$ et d'angle $(\vec{OA},\vec{OB})$ est parfaitement définie.
C'est quand on veut parler de la mesure de l'angle orienté $(\vec{OA},\vec{OB})$ qu'il y a besoin d'orienter le plan $(OAB)$ (ce que l'on peut faire à l'aide d'une orientation de l'espace ambient et d'une orientation de l'axe).

Petit bémol : quand je parle d'angle orienté $(\vec{OA},\vec{OB})$, c'est dans le plan $(0AB)$. Dans l'espace de dimension 3, pas de distinction entre angle orienté et non-orienté !

Les deux dernières lignes du message me laissent perplexe. Où vas-tu ?

La mesure de tout angle orienté du plan est bien définie (comme élément de $\R/2\pi \Z$) une fois l'orientation du plan fixée.
Je ne vois toujours pas où tu vas.

Remarques :
1°) Si tu choisis le vecteur $\vec{OA}\wedge \vec{OB}$, pour orienter le plan $(O,A,B)$ la mesure de l'angle sera toujours dans $]0,\pi [$ modulo $2\pi$
2°) Pour rendre $\vec{OA}\wedge \vec{OB}$ unitaire, encore faut-il qu'il ne soit pas nul.Tu auras quelques ennuis quand l'angle géométrique des deux vecteurs est $0$ ou $\pi$.
3°) Qu'est-ce qu'un angle pour toi ? Je veux dire, quand est-ce que l'angle $(\vec{OA}, \vec{OB})$ est égal à l'angle $(\vec{OA'}, \vec{OB'})$ ?

J'ai quelques carences quant aux quaternions.
En quoi un quaternion apporterait une plus value ?

C'est intéressant, mais GaBuZoMeu se tue à te dire qu'il n'y a pas d'angles orientés dans l'espace !

Bruno

Tu tournes en rond, c'est le moment de le dire. Tant pis (pour toi).
Mon conseil final : apprends dans un bon livre de géométrie ce que sont les angles, et les rapports entre quaternions et rotations.

Je te donne l'"angle" $(\vec{OA},-\vec{OA})$, tu me retournes quel quaternion unitaire ?

Bonjour

L2M a écrit:

---

Les quaternions unitaires $i$ , $j$ et $k$ sont les angles $(\vec{OB},\vec{OC})$, $(\vec{OC},\vec{OA})$ et $(\vec{OA},\vec{OB})$ .

Je ne savais pas qu'un quaternion unitaire était un angle!
Je croyais naïvement que c'était un point de la sphère-unité $\mathbb S^3\subset \mathbb R^4$ et qu'on avait un homomorphisme de groupes, revêtement à deux feuillets non trivial: $\mathbb S^3\mapsto SO(3)$
Mais tout ceci est loin maintenant et les choses ont peut-être changé depuis!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Je m'adressais évidemment à L2M et je salue Pappus, GBMZ, dom, Bruno ;-) qui confirmeront ou infirmeront la pertinence de la suggestion que je te fais.

Dire que l'on ne considère que des angles de sommets O revient à étudier les rotations vectorielles.
Et le problème est le même.

Reprenons :
Dans le cas général, on part des rotations, identifiés à SO(n).
Avec une identification on définit un angle comme étant une rotation.
On se donne deux vecteurs $u$ et $v$ et on regarde s'il existe une rotation qui transforme $u$ en $v$.
Le cas n=2 est particulier (pourquoi ?).

On va considérer vecteurs d'origine O, dans l'espace.
Je note (O;i,j,k) un repère.
@L2M
Quelles sont selon toi les mesures de ces angles "orientés" ?
(i,j)
(j,i)
(i,k)
(j,k)
(k,j)
(k,i).

Rappel :
Dans le plan muni du repère (O,i,j), les angles orientés (i,j) et (j,i) sont distincts car aucune rotation ne permet de passer de l'un à l'autre. Le passage aux mesures, une fois le plan orienté, donne deux mesures distinctes $\frac{\pi}{2}$ et $\frac{3\pi}{2}$.

Bon, il y a des choses qu'in peut formaliser.

Dans tout ce qui suit on identifie $\R^3$ avec sa structure euclidienne orientée canonique avec l'espace des quaternions purs.

1°) Définition : Un elgna est une classe d'équivalence de couples de vecteurs unitaires de $\R^3$ ; deux couples $(u,v)$ et $(u',v')$ représentent le eême elgna si et seulement s'il existe un plan vectoriel contenant $u,v,u',v'$ et une rotation de ce plan qui envoie $u$ sur $u'$ et $v$ sur $v'$. Notons $\epsilon(u,v)$ l'elgna représenté par $(u,v)$.
Pétition : les elgnas sont ce dont veut parler L2M sous l'appellation impropre d'" angles".
Remarque : tous le $(u,u)$ représentent le même elgna, tous les $(u,-u)$ représentent le même elgna.

2°) A un elgna représenté par $(u,v)$ on associe le quaternion $u\cdot v+ u\wedge v$ ($u\wedge v$ est la partie quaternion pur). Cette application est bien définie et est une bijection de l'ensemble des elgnas sur l'ensemble des quaternions de norme 1. Notons la $\mu$.
Remarque : $\mu(\epsilon(u,u))=1$, $\mu(\epsilon(u,u))=-1$.

3°) On a une opération bien claire sur les quaternions de norme 1 : le produit.
On aurait envie de définir l'opération suivante sur les elgnas : étant donnés deux elgnas, on peut toujours trouver des représentants tels que le 1er vecteur du premier soit égal au 2e vecteur du second. On pose alors $\epsilon(u,v)\circ \epsilon(w,u)=\epsilon(w,v)$ (une sorte de Chasles : aller de $w$ à $u$ puis de $u$ à $v$ est aller de $w$ à $v$). Cette opération est bien définie, mais avec ça $\mu$ n'est pas un isomorphisme !

4°) Et les rotations dans tout ça ? Soit $r$ une rotation de $\R^3$. Soit $u$ un vecteur unitaire orthogonal à l'axe de $r$. On peut appeler "elgna de $r$' l'elgna $\epsilon(u,r(u))$ (indépendant du choix de $u$). Le quaternion de norme 1 image par $\mu$ de l'elgna de $r$ est le carré des quaternions de norme 1 antécédents de $r$ par l'homomorphisme standard du groupe des quaternions de norme 1 sur $\mathrm{SO}(3)$.

5°) Tout cela est bien beau, mais qu'est-ce qu'on en fait ? Rien à mon avis, puisque les applications définies plus haut ne préservent pas les opérations naturelles qu'on a sur les rotations, les elgnas, les quaternions de norme 1.