Des aires quarrables
dans Géométrie
Bonsoir à tous,
suite au fil "Aire", qu'obtient-on avec le même genre de figure, mais à symétrie d'ordre 6 ?
Je m'excuse le plus platement possible de ne pas pouvoir envoyer la figure, mais elle est très simple : on trace, dans un grand cercle de rayon 2r, 6 cercles de rayon r, dont les centres sont les sommets d'un hexagone régulier et qui passent tous par le centre du grand cercle, sont tous tangents intérieurement à ce grand cercle et sont tangents deux à deux en leur point de concours au centre du grand cercle. On obtient une partition du grand cercle en quatre sortes de 6 aires égales : au centre de la figure, six petites "lentilles", de longueur r ; s'insérant en pointes entre ces lentilles, six "poinçons" ou quadrilatères curvilignes ; recouvrant ces quadrilatères, six "tricornes" ou triangles curvilignes ; enfin, coincés contre le grand cercle, six autres petits triangles curvilignes ou "écailles" (si ces noms vous semblent mal choisis, appelez- les comme vous le voulez !).
On peut montrer que l'aire d'une lentille est égale à celle d'une écaille, et que l'aire d'un poinçon est égale à celle d'un tricorne et quarrable : je vous laisse découvrir à quel élément de la figure on peut assimiler ces deux aires, et de façon très simple !
Je conjecture que l'on peut trouver des aires quarrables dans les figures de ce type si et seulement si le nombre de cercles intérieurs est pair : j'ai essayé avec 3, ce n'est pas possible. J'essaierai avec 5, mais sans grand espoir.
Bonne nuit
suite au fil "Aire", qu'obtient-on avec le même genre de figure, mais à symétrie d'ordre 6 ?
Je m'excuse le plus platement possible de ne pas pouvoir envoyer la figure, mais elle est très simple : on trace, dans un grand cercle de rayon 2r, 6 cercles de rayon r, dont les centres sont les sommets d'un hexagone régulier et qui passent tous par le centre du grand cercle, sont tous tangents intérieurement à ce grand cercle et sont tangents deux à deux en leur point de concours au centre du grand cercle. On obtient une partition du grand cercle en quatre sortes de 6 aires égales : au centre de la figure, six petites "lentilles", de longueur r ; s'insérant en pointes entre ces lentilles, six "poinçons" ou quadrilatères curvilignes ; recouvrant ces quadrilatères, six "tricornes" ou triangles curvilignes ; enfin, coincés contre le grand cercle, six autres petits triangles curvilignes ou "écailles" (si ces noms vous semblent mal choisis, appelez- les comme vous le voulez !).
On peut montrer que l'aire d'une lentille est égale à celle d'une écaille, et que l'aire d'un poinçon est égale à celle d'un tricorne et quarrable : je vous laisse découvrir à quel élément de la figure on peut assimiler ces deux aires, et de façon très simple !
Je conjecture que l'on peut trouver des aires quarrables dans les figures de ce type si et seulement si le nombre de cercles intérieurs est pair : j'ai essayé avec 3, ce n'est pas possible. J'essaierai avec 5, mais sans grand espoir.
Bonne nuit
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Réponses
> Je m'excuse le plus platement possible de ne pas pouvoir envoyer la figure
Je ne vois pas pourquoi tu ne pourrais pas, les moyens ne manquent pas.
Cordialement,
Rescassol
Voici la figure de JeloBreuil.
Amicalement
[small]p[/small]appus
et un GRAND MERCI à Pappus, pour cette superbe figure !
Rescassol, il se trouve que non, je n'ai pas encore les moyens de faire une telle figure, et à fortiori de l'envoyer. J'en suis le premier désolé, crois-le bien !
Bonne journée, bien cordialement
Jean-Louis Breuil
Je trouve, pour un rayon du grand cercle $1$:
$B=M=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ et $R=V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
Cordialement,
Rescassol
J'avais bien trouvé les mêmes résultats que Rescassol.
Mais concrètement, il y a dans la figure un élément dont l'aire correspond exactement à celle de B ou M ... Il faut appliquer une rotation à deux autres éléments pour le faire apparaître ... De la même façon que ce que j'ai écrit dans le fil "Aire" ...
Cordialement
Amicalement
[small]p[/small]ppus
Par suite $M=B$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Eh oui, c'est bien ça, un losange. Simple, n'est-ce pas ?
Encore merci pour tes figures !
et bonne nuit à toi aussi
Jean-Louis B.
Merci infiniment de ton intérêt pour cette petite chose ...
Bien sincèrement et amicalement
Jean-Louis B.
Soit $r$ le rayon du grand disque.
On a: $6(M+B+V+R)=6(2M+V+R)=\pi r^2$ puisque $M=B$
D'autre part l'aire d'un petit cercle de rayon $\dfrac r2$ donne:
$3(M+R)=\pi \dfrac{r^2}4$
c'est à dire: $12(M+R)=\pi r^2$
Donc $6(2M+V+R)-12(M+R)=6(V-R)=\pi r^2-\pi r^2=0$
Et par suite:
$V=R$
Il est facile maintenant de retrouver les résultats de Rescassol!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici d'autres figures où l'on trouve triangles et quadrilatères curvilignes quarrables ...
Cordialement
JLB
$6B+6M+6R+6V=4\pi r^2\quad$ Cercle de rayon $2r$
$2B+M+3R=\pi r^2\quad$ Cercle de rayon $r$
$3M+3R=\pi r^2\quad$ Cercle de rayon $r$ infra
$M=\sqrt{3}/2\quad$ Losange infra
Un système à résoudre (les élèves aiment).
je trouve tout ça très intéressant... et même plutôt beau
@jelobreuil
une question: par quarrable qu'entendez-vous exactement ?
je songe à deux possibilités: d'un côte le fait d'être mesuré par une aire que l'on sait calculer (mais comme les bords ne sont pas compliqués, c'est le cas, et je sais vous le savez), ou alors une aire qui est celle d'un quadrilatère particulier de la figure?
merci pour la réponse
ps: je voudrais bien que ce soit le dernier point qui sorte du lot
Callipiger, merci de votre appréciation !
J'entends par "aire quarrable" une aire, ici délimitée par des arcs de cercle, représentée par un nombre non transcendant (autrement dit, où pi n'intervient pas), et que l'on sait calculer parce qu'elle est égale à celle d'un quadrilatère particulier de la figure, ici un losange.
Tout ceci ne repose que sur l'égalité de certains segments de cercle ...
Soland, de quel "premier dessin" parles-tu ? Celui de Pappus, n'est-ce pas ?
Bien cordialement
JLB
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