Calcul d'aire

Bonjour,

On appelle $r$ le rayon du cercle.

Comme c'est un trapèze, les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Avec des triangles semblables on a : $AD = r+4$ et $BC = r+16.$

L'aire du trapèze est alors $2r(r+10).$ L'aire du cercle est $\pi r^2.$ L'aire cherchée est $2r(r+10) - \pi r^2.$

On a $\tan DCB = {2r \over 12}$ et $\tan {DCB \over 2} = {r \over 16}.$

La formule de duplication de la tangente donne $r=8.$

Le résultat est alors $2^5.3^2 - \pi 2^6 \sim 86,9(3).$

Bonjour,

Centre du centre, point tangents et point C. Ils partagent la même hypothénuse, sont rectangles, et ont des côtés de mesure longueur (rayon du cercle).
Centre du centre, point tangents et point D.

YvesM utilise deux paires de triangles rectangles. Dans chaque paire, les triangles sont rectangles et ont deux cotés de même longueur : l'un est l'hypothèse commune, l'autre a pour longueur le rayon du cercle.

Si tu préfères, tu peux utiliser un argument de symétrie. Considère par exemple la symétrie orthogonale par rapport à la droite $(OC)$. Regarde les images des points tangents au cercle sur $(CB)$ et $(DB)$.

Je trouve que $r=8$, $AD=12$ et $BC=24$.

L'aire cherchée est donc de $288-64\pi$. Pareil que YvesM, mais je suis passé par la case $ODC$ est rectangle en $O$, sans déconner.

S

Bonjour @xilyas72,

Non, tu ne déconnes pas. Le triangle est bien rectangle... mais la question est comment le démontres-tu ?

Tu dois donc progresser pas à pas jusqu'à une solution. Peu importe les étapes si tu les démontres.

Dans la démonstration que je propose, on ne passe pas par l'étape qui démontre que le triangle est bel et bien rectangle en O. On l'établit par Pythagore, une fois le rayon $r$ trouvé.

Donc écrit une démonstration complète, ça évitera que l'on ne se comprenne pas.

Bonjour,

pour ma part je démontre que le triangle COD est rectangle en O par des considérations géométriques élémentaires sur les propriétés des tangentes à un cercle !
(aucun calcul, sauf peut être celui de 180/2 = 90)

et ensuite je calcule r parce que je connais mes formules de relations métriques dans un triangle rectangle $r^2 = 4\times 16$
mais bon, de nos jours ... les relations métriques dans un triangle rectangle, on fait appel au cosinus sur des kilomètres.
la suite est immédiate avec les formules de l'aire d'un trapèze et d'un cercle


(ma figure est de travers parce que je suis parti de CD et du point de contact T pour la construire)