Transformations continues du plan
dans Géométrie
Bonjour,
Quelles sont les transformations $T$ continues du plan $\mathbb{P}$, tel que le centre de gravité de $M,T(M) \text{ et } T^2(M)$ soit $O$ un point fixé de $\mathbb{P}$, pour tout point $M \in \mathbb{P}$ ?
Bonne journée.
Quelles sont les transformations $T$ continues du plan $\mathbb{P}$, tel que le centre de gravité de $M,T(M) \text{ et } T^2(M)$ soit $O$ un point fixé de $\mathbb{P}$, pour tout point $M \in \mathbb{P}$ ?
Bonne journée.
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Réponses
Cordialement.
le mot continue me semble plutôt bizarre, le mot affine me paraît plus adapté.
On aurait alors $\frac13\left(M+T(M)+T^2(M)\right)=O$.
Première question $O$ est-il alors invariant par $T$ ?
Il faut justement montrer que les seules solutions continues sont affines.
Amicalement
[small]p[/small]appus
On a: $x+f(x)+f^2(x)=3O=f(x)+f^2(x)+f^3(x)$
D'où $f^3=id$, $f$ est d'ordre $3$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
@Tonm : cela resterait à montrer.
@Jean-Eric : oui, elles sont continues et pas forcément affines.
@Pappus : oui, $f^3=id$ [size=x-small]mais cela ne suffit pas à montrer que les solutions seraient, forcément, affines.[/size]
Bonne soirée.
Merci.
Bonne soirée.
Pour ce soir fini, je verrais après.
Bonsoir.
En effet, si on prend la rotation d'angle $2\pi/3$, sauf pour trois points du plan formant un triangle équilatéral de centre $O$. Pour ces trois points on prend une rotation d'angle $-2\pi/3$.
Alors $T$ n'est pas continue et vérifie la condition de stabilité du centre de gravité.
Bonne nuit.
Je ne suis pas sûr que $M,T(M) \text{ et } T^2(M)$ forme toujours un triangle équilatéral.
édit
@Tonm : oui, cela me semble difficile de résoudre ce problème graphiquement.
Bonne journée.
Merci
Edit
En fait, je me suis rendu compte que ma preuve est incomplète.
Donc le problème pour moi est ouvert, je ne sais même pas si les solutions sont toutes des fonctions affines, par contre ce que je sais c'est que :
-si ce sont toutes des fonctions affines la condition de continuité est indispensable : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1370440,1370986#msg-1370986
-si $T$ est solution (en prenant O=(0,0)) et $A$ fonction linéaire inversible alors $AoToA^{-1}$ est solution.
Désolé.
PS : pour info, la piste que j'avais, était d'utiliser les suites récurrentes linéaires complexes, ce qui permet de montrer, me semble-t-il, que :
T, en se plaçant dans le plan complexe et en assimilant O au complexe nul, est de la forme : $T(z)=r\alpha(z)+r^{-1}(z-\alpha(z))$ avec $r$ une racine de $1+x+x^2$ et $\alpha(T(z))=r\alpha(z)$.
Bonne journée.
Bonne journée.
Soit $O$ un point fixe du plan $\forall M$ la rotation $R$ de centre $O$, de rayon $|OM|$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ forme de $M, R(M)$ et $R^2(M)$ un triangle équilatéral. ayant $O$ comme centre de gravité.
Cherchons d' autre transformations $f$ (continues): en effet on peut remarquer que pour une transformation pareille $M, f(M)$ et $f^2(M)$ ne peuvent appartenir qu'à un seul triangle ayant $O$ comme centre de gravité, donc d'une façon on peut écrire $\overset{i}{\cap} \{M_i,f(M_i),f^2(M_i)\}=\phi$ et bien sur $f$ est bijectif avec $f^3=Id$.
Pour $\overset{i}{\cup} \{M_i,f(M_i),f^2(M_i)\}={\mathbb{R}}^2$ quand $f=R$ une facon de voir cette union est de tracer les cercles circonscrits a $M,R(M),R^2(M)$ (imagine les courbes de niveaux). En fait l'existence de $f\neq R$ revient à pouvoir couvrir ${\mathbb{R}}^2$ par des courbes de niveaux pas nécéssairement des cercles mais qui se termine en $O$, ils sont fermées autour de $O$ et s'enferme CONTINUEMENT jusqu'a être le point $O$.
La dernière reformulation n'est pas difficile...
Maientenant ca peut se faire par une infinité de transformmations la c'est de la topologie je ne sait pas homotopie ou autre mais le truc c'est d'arriver à couvrir le plan par des courbes fermées (courbes de niveaux) qui s'enferment vers $O$ et sont continues.
C'est quoi les courbes: ce sont les triplets $M,f(M),f^2(M)$
Pourquoi ils sont fermées: Parce que si tu trace le triangle quelconque $M,f(M),f^2(M)$ et tu choisis un chemin de $M$ vers $f(M)$ alors par continuité et $f^3=Id$, $f(M)$ prend un chemin vers $f^2(M)$ et $f^2(M)$ prend un chemin vers $M$ et tu auras une courbe fermée et ainsi de suite.
J'avoue n'avoir strictement rien compris aux explications de Tonm.
Mais il m'a au moins donné une idée, celle de recouvrir le plan $\mathbb R^2$ euclidien usuel par des ellipses $\Gamma_a$ formant un système de lignes de niveau et d'équations:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}a=1$ avec $a>0$.
J'ai tracé sur ma figure quelques unes de ces ellipses avec en rouge celle qui est le cercle trigonométrique, le seul cercle encore provisoirement à notre disposition jusqu'à nouvel ordre venu d'en haut, qui ne saurait tarder puisque les élections sont proches.
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est laissée à votre imagination débridée.
Il reste à montrer que $T$ est continue, non affine et satisfait aux autres conditions exigées par pourexemple.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
A vrai dire, la seule chose qui me préoccupe est la continuité à l'origine!!
Mon idée n'était pas rigoureuse bien sûr.
Cordialement.
Il n'y a pas trente six choses à faire sur l'exemple que je propose:
il faut écrire concrètement les deux composantes de l'application $T$:
$T(x,y)=(\bullet,\bullet)$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonne journée.
Je pense qu'il n'est pas évident (en tous les cas pour moi) que $O$ soit un point fixe de $T$.
Bonne journée.
Par définition tu poses $T(0,0)=(0,0)$
et ta mission, si tu l'acceptes, est de prouver que $T$ est continue à l'origine.
C'est pour cela que je disais que le seul problème était de prouver la continuité de $T$ à l'origine.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Cela me fait penser qu'avec une fonction continue sans point fixe on est sûr qu'elle n'est pas linéaire.
édit (autorisé implicitement par GaBuZoMeu pour corriger la faute d'orthographe signalée).
Bonne journée.
Mise à part l'orthographe très fantaisiste de ce que tu nous a écrit, je ne vois pas à quelle piste tu as fait allusion.
Il fallait lire: de ce que tu nous as écrit
Ton discours un peu fumeux n'a pas vraiment de contenu mathématique, exception faite de cette vague allusion à des lignes de niveau.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Merci GaBuZoMeu de me remonter les bretelles comme d'habitude et surtout sur l'orthographe, ce qui est particulièrement vexant!
Le grand âge étant venu, je m'aperçois que j'oublie de temps à autre de taper une lettre, alors j'essaye de me relire mais même la relecture reste insuffisante et m'est particulièrement pénible!
L'application $T$ étant définie de la façon que j'ai dite, satisfait-elle oui ou non aux conditions de pourexemple?
C'est tout ce que je veux savoir sinon il faudra trouver autre chose!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonne journée.
L'application T étant définie de la façon que j'ai dite, satisfait-elle oui ou non aux conditions de pourexemple?
C'est tout ce que je veux savoir sinon il faudra trouver autre chose!
Si je comprends encore le français, il me semble que Pappus ne soit pas sûr que cela soit un contre-exemple, d'ailleurs la partie en gras, ne laisse aucun doute sur ce point...
$$\cos(\theta)+\cos(\theta+2\pi/3)+\cos(\theta+4\pi/3)=\sin(\theta)+\sin(\theta+2\pi/3)+\sin(\theta+4\pi/3)=0\;.$$
On vérifie sans peine qu'il a fourni un contre-exemple.
Je n'ai pas ton aisance logique, ce qui fait que je ne vois pas en quoi la fonction que Pappus propose est :
0/bien définie.
1/vérifie l'égalité fonctionnelle.
2/est continue.
3/n'est pas affine.
Merci, de ta compréhension.
P.S. Ceci vaut pour Tonm et pour pourexemple.
0/ Peux-tu décrire la fonction, que Pappus suggère ?
$$\begin{aligned} (0,0)&\longmapsto (0,0)\\
(a\,\cos(\theta), \sqrt a\,\sin (\theta))&\longmapsto (a\,\cos(\theta+2\pi/3), \sqrt a\,\sin (\theta+2\pi/3))\;. \end{aligned}$$
Pour ce qui est de la continuité et de la non-affinité, là j'ai besoin de plus d'explication.
On doit résoudre l'équation du second degré, (est-ce encore au programme?):
$a^2-y^2a-x^2=0$ qui admet une seule racine positive: $a=\dfrac 12(y^2+\sqrt{4x^2+y^4})$.
On prouve ainsi qu'on obtient une famille de lignes de niveau dans le plan $\mathbb R^2$ privé de l'origine.
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est le conjugué de la rotation (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (\dfrac x2-\dfrac{\sqrt 3}2y,\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac y2)\}$ par l'affinité (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (x,\dfrac y{\sqrt a})\}$
Les calculs de conjugués sont-ils encore au programme?
En tout cas, j'ai la flemme de les faire pour le moment!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tu as écrit :
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est le conjugué de la rotation (vectorielle) : $\{(x,y)\mapsto (\dfrac x2-\dfrac{\sqrt 3}2y,\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac y2)\}$ par l'affinité (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (x,\dfrac y{\sqrt a})\}$
Je comprends que par cela tu veux convaincre que $T$ n'est pas affine, mais il doit me manquer un résultat qui fait que je ne vois pas pourquoi, alors si tu pouvais me faire ce cadeau, de préférence avant Noël... :-D
Merci.
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est, [large]par définition,[/large] le conjugué de la rotation (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (\dfrac x2-\dfrac{\sqrt 3}2y,\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac y2)\}$ par l'affinité (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (x,\dfrac y{\sqrt a})\}$
Mais comme je l'ai dit à GaBuZoMeu, j'oublie le plus souvent en chemin la moitié de ce que je veux écrire!
Pour voir que $T$ n'est pas affine, tu fais ce calcul de conjugué, (faut quand même pas pousser pépé dans les bégonias!), tu écris explicitement les deux composantes de $T$ et avec les deux yeux qui t'ont été donnés, tu conclus que $T$ n'est pas affine.
Il ne reste plus qu'à montrer la continuité de $T$ à l'origine sachant que $T(0,0)=(0,0)$ par définition
Amicalement
[small]p[/small]appus
Là, j'avoue ne pas savoir ce qu'est un conjugué (au début je pensais que tu faisais référence à la composée).
Maintenant, GaBuZoMeu dit que ta solution marche, tu n'en ais pas encore convaincu, donc je demande à GaBuZoMeu d'essayer de t'en convaincre...
Bonne journée.
Aïe aïe...
@pourexemple : la restriction de la transformation $T$ de pappus au cercle unité est la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $2\pi/3$. Si $T$ était affine, comme une application affine est déterminée uniquement par sa restriction à un repère affine, on aurait $T=R$, ce qui n'est pas vrai puisque $R$ ne conserve pas les autres ellipses.