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Transformations continues du plan

Envoyé par pourexemple 
Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Quelles sont les transformations $T$ continues du plan $\mathbb{P}$, tel que le centre de gravité de $M,T(M) \text{ et } T^2(M)$ soit $O$ un point fixé de $\mathbb{P}$, pour tout point $M \in \mathbb{P}$ ?

Bonne journée.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Rotation, avec centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ où nécessairement $T^3=Id$


Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tonm.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

le mot continue me semble plutôt bizarre, le mot affine me paraît plus adapté.

On aurait alors $\frac13\left(M+T(M)+T^2(M)\right)=O$.

Première question $O$ est-il alors invariant par $T$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jean-éric.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Bonsoir
Il faut justement montrer que les seules solutions continues sont affines.
Amicalement
pappus
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Bonsoir
On a: $x+f(x)+f^2(x)=3O=f(x)+f^2(x)+f^3(x)$
D'où $f^3=id$, $f$ est d'ordre $3$.
Amicalement
pappus
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

@Tonm : cela resterait à montrer.
@Jean-Eric : oui, elles sont continues et pas forcément affines.
@Pappus : oui, $f^3=id$ mais cela ne suffit pas à montrer que les solutions seraient, forcément, affines.

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
D'accord pour moi ça me parrait un truc graphique en remarquant que $T^2=T^{-1}$ (@pourexemple)...

Merci.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
@Tonm : Graphiquement cela me semble ardu, dans ce cas, je ne sais pas le faire.

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Ça mène à 99,9% un petit détour et tu auras $M, T(M), T^2(M) $ forment nécessairement un triangle équilateral blablabla.
Pour ce soir fini, je verrais après.

Bonsoir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tonm.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
@Tonm : La condition de continuité me semble nécessaire pour conclure, c'est ce qui m'a fait dire cela.

En effet, si on prend la rotation d'angle $2\pi/3$, sauf pour trois points du plan formant un triangle équilatéral de centre $O$. Pour ces trois points on prend une rotation d'angle $-2\pi/3$.

Alors $T$ n'est pas continue et vérifie la condition de stabilité du centre de gravité.

Bonne nuit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Donc on prend les rotations "continues" je dit que les transformations pour un O (distinct de M) donné sont les rotations de centre O qui de $M, T(M)$ et $T^2(M)$ font un triangle équilatéral, ça je pense être prouvable. Le plan n'est il pas le plan Euclidien?
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Le plan, est muni de la topologie canonique (donc pour une norme quelconque en particulier euclidienne).

Je ne suis pas sûr que $M,T(M) \text{ et } T^2(M)$ forme toujours un triangle équilatéral.

édit



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Pas de démo, désolé.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Tonm : oui, cela me semble difficile de résoudre ce problème graphiquement.

Bonne journée.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bon je pense que prouver cela graphiquement. je vais la poster aprés. Pour ne pas paraitre un chiffon je parie que pourexemple a une preuve (analytique) qui utilise de la topologie tel intersection non vide cool smiley et propriétés du centre de gravité, tout ce que j'ai fait c'est traduit cela graphiquement. PS. je ne sais pas la preuve de pourexemple. En attendant...

Merci


Edit



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tonm.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
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Bonjour,

En fait, je me suis rendu compte que ma preuve est incomplète.

Donc le problème pour moi est ouvert, je ne sais même pas si les solutions sont toutes des fonctions affines, par contre ce que je sais c'est que :
-si ce sont toutes des fonctions affines la condition de continuité est indispensable : [www.les-mathematiques.net]
-si $T$ est solution (en prenant O=(0,0)) et $A$ fonction linéaire inversible alors $AoToA^{-1}$ est solution.

Désolé.

PS : pour info, la piste que j'avais, était d'utiliser les suites récurrentes linéaires complexes, ce qui permet de montrer, me semble-t-il, que :
T, en se plaçant dans le plan complexe et en assimilant O au complexe nul, est de la forme : $T(z)=r\alpha(z)+r^{-1}(z-\alpha(z))$ avec $r$ une racine de $1+x+x^2$ et $\alpha(T(z))=r\alpha(z)$.

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Parfait., je plaisante mais c'était trop fort comme résultat, et je ne sort pas, en fait il y a un truc que je doit clarifier (graphiquenent) qui n'est pas hors question sinon on (je) peut reformuler le problème en un autre plus net. Merci à toi.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Je pense qu'il suffit de montrer l'existence d'une telle transformation qui ne soit pas affine, pour répondre à l'esprit de la question.

Bonne journée.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Oui bien sur voila ce que je peut dire

Soit $O$ un point fixe du plan $\forall M$ la rotation $R$ de centre $O$, de rayon $|OM|$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ forme de $M, R(M)$ et $R^2(M)$ un triangle équilatéral. ayant $O$ comme centre de gravité.

Cherchons d' autre transformations $f$ (continues): en effet on peut remarquer que pour une transformation pareille $M, f(M)$ et $f^2(M)$ ne peuvent appartenir qu'à un seul triangle ayant $O$ comme centre de gravité, donc d'une façon on peut écrire $\overset{i}{\cap} \{M_i,f(M_i),f^2(M_i)\}=\phi$ et bien sur $f$ est bijectif avec $f^3=Id$.
Pour $\overset{i}{\cup} \{M_i,f(M_i),f^2(M_i)\}={\mathbb{R}}^2$ quand $f=R$ une facon de voir cette union est de tracer les cercles circonscrits a $M,R(M),R^2(M)$ (imagine les courbes de niveaux). En fait l'existence de $f\neq R$ revient à pouvoir couvrir ${\mathbb{R}}^2$ par des courbes de niveaux pas nécéssairement des cercles mais qui se termine en $O$, ils sont fermées autour de $O$ et s'enferme CONTINUEMENT jusqu'a être le point $O$.

La dernière reformulation n'est pas difficile...

Maientenant ca peut se faire par une infinité de transformmations la c'est de la topologie je ne sait pas homotopie ou autre mais le truc c'est d'arriver à couvrir le plan par des courbes fermées (courbes de niveaux) qui s'enferment vers $O$ et sont continues.

C'est quoi les courbes: ce sont les triplets $M,f(M),f^2(M)$

Pourquoi ils sont fermées: Parce que si tu trace le triangle quelconque $M,f(M),f^2(M)$ et tu choisis un chemin de $M$ vers $f(M)$ alors par continuité et $f^3=Id$, $f(M)$ prend un chemin vers $f^2(M)$ et $f^2(M)$ prend un chemin vers $M$ et tu auras une courbe fermée et ainsi de suite.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tonm.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Bonne Nuit
J'avoue n'avoir strictement rien compris aux explications de Tonm.
Mais il m'a au moins donné une idée, celle de recouvrir le plan $\mathbb R^2$ euclidien usuel par des ellipses $\Gamma_a$ formant un système de lignes de niveau et d'équations:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}a=1$ avec $a>0$.
J'ai tracé sur ma figure quelques unes de ces ellipses avec en rouge celle qui est le cercle trigonométrique, le seul cercle encore provisoirement à notre disposition jusqu'à nouvel ordre venu d'en haut, qui ne saurait tarder puisque les élections sont proches.
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est laissée à votre imagination débridée.
Il reste à montrer que $T$ est continue, non affine et satisfait aux autres conditions exigées par pourexemple.
Amicalement
pappus
PS
A vrai dire, la seule chose qui me préoccupe est la continuité à l'origine!!



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.


Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bonsoir, oui en fait tu as trouvé une explicite. On peut définir T en tant que $R$ la rotation dés qu'on voit un cercle circonscrit (ici c'est le rouge) donc $T\equiv R$ à l'intérieur du cercle rouge. Ça s'enferme continuement vers $O$...mais le problème vérifia-t-elle les conditions de centre de gravité je doute bien.
Mon idée n'était pas rigoureuse bien sûr.

Cordialement.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tonm.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Bonjour
Il n'y a pas trente six choses à faire sur l'exemple que je propose:
il faut écrire concrètement les deux composantes de l'application $T$:
$T(x,y)=(\bullet,\bullet)$
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bon on n'est pas sur la même piste (rien de mauvais)...




Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tonm.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Je pense qu'il n'est pas évident (en tous les cas pour moi) que $O$ soit un point fixe de $T$.

Bonne journée.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Mon cher pourxemple
Par définition tu poses $T(0,0)=(0,0)$
et ta mission, si tu l'acceptes, est de prouver que $T$ est continue à l'origine.
C'est pour cela que je disais que le seul problème était de prouver la continuité de $T$ à l'origine.
Amicalement
pappus
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Mais on n'en sort pas, qu'est-ce qui te garantit l'existence d'un point fixe...

Cela me fait penser qu'avec une fonction continue sans point fixe on est sûr qu'elle n'est pas linéaire.

édit (autorisé implicitement par GaBuZoMeu pour corriger la faute d'orthographe signalée).

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Citation
pappus
Par définition tu poses $T(0,0)=(0,0)$.
Citation
pourexemple
qu'est-ce qui te garantit l'existence d'un point fixe...
smiling bouncing smiley
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Mon cher Tonm
Mise à part l'orthographe très fantaisiste de ce que tu nous a écrit, je ne vois pas à quelle piste tu as fait allusion.
Il fallait lire: de ce que tu nous as écrit
Ton discours un peu fumeux n'a pas vraiment de contenu mathématique, exception faite de cette vague allusion à des lignes de niveau.
Amicalement
pappus
PS
Merci GaBuZoMeu de me remonter les bretelles comme d'habitude et surtout sur l'orthographe, ce qui est particulièrement vexant!
Le grand âge étant venu, je m'aperçois que j'oublie de temps à autre de taper une lettre, alors j'essaye de me relire mais même la relecture reste insuffisante et m'est particulièrement pénible!



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Citation

l'orthographe très fantaisiste de ce que tu nous a écrit
Aïe aîe ...
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Mon cher GaBuZoMeu
L'application $T$ étant définie de la façon que j'ai dite, satisfait-elle oui ou non aux conditions de pourexemple?
C'est tout ce que je veux savoir sinon il faudra trouver autre chose!
Amicalement
pappus
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Ok, je vais traduire pour GaBuZoMeu, qu'est-ce qui garantit sous les hypothèses du premier message que toute transformation solution vérifie $T(O)=O$, c'est à dire possède un point fixe.

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
@pappus : bah, pourexemple finira peut-être par s'apercevoir que tu fournis un contre-exemple au fait qu'un $T$ vérifiant ses conditions soit affine.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Citation Pappus :
L'application T étant définie de la façon que j'ai dite, satisfait-elle oui ou non aux conditions de pourexemple?
C'est tout ce que je veux savoir sinon il faudra trouver autre chose!


Si je comprends encore le français, il me semble que Pappus ne soit pas sûr que cela soit un contre-exemple, d'ailleurs la partie en gras, ne laisse aucun doute sur ce point...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
On vérifie sans peine qu'il a fourni un contre-exemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Une fois aussi, dire si un $f$ donné soit affine ou non c'est cela qui est fantaisiste. On peut donner des fonctions Continues autre que la Rotation $R$, qui satisfaient aux conditions initiales; mais celles de papus ne satisfait pas cela (on peut la faire continue, voir mon avant dernier message, mais le truc que $O$ soit centre de gravité d'un triplet de point qui circule l'ellipse? je ne pense pas )



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tonm.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Indication pour Tonm :
$$\cos(\theta)+\cos(\theta+2\pi/3)+\cos(\theta+4\pi/3)=\sin(\theta)+\sin(\theta+2\pi/3)+\sin(\theta+4\pi/3)=0\;.$$
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Ça c'est pour le cercle
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Citation GaBuZoMeu :
On vérifie sans peine qu'il a fourni un contre-exemple.

Je n'ai pas ton aisance logique, ce qui fait que je ne vois pas en quoi la fonction que Pappus propose est :
0/bien définie.
1/vérifie l'égalité fonctionnelle.
2/est continue.
3/n'est pas affine.

Merci, de ta compréhension.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Réfléchis mieux à la transformation de Pappus, et à une paramétrisation de l'ellipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a}=1$.

P.S. Ceci vaut pour Tonm et pour pourexemple.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
0/Comment montres tu que si $a\neq b$ alors les 2 ellipses sont forcément disjointes, par exemple pour $b=-a$ ou $b=a^2$ ce n'est pas flagrant.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Oui ok c'est fait VRAI merci.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Pappus a bien précisé "avec $a>0$". Je te laisse calculer $a$ en fonction de $x$ et $y$.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Ok.

0/ Peux-tu décrire la fonction, que Pappus suggère ?
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Tout point du plan différent de l'origine peut s'écrire de manière unique sous la forme $(x,y)=(a\,\cos(\theta), \sqrt a\,\sin (\theta))$ avec $a>0$ et $\theta\in \R/2\pi\Z$. La transformation de Pappus est
$$\begin{aligned} (0,0)&\longmapsto (0,0)\\
(a\,\cos(\theta), \sqrt a\,\sin (\theta))&\longmapsto (a\,\cos(\theta+2\pi/3), \sqrt a\,\sin (\theta+2\pi/3))\;. \end{aligned}$$
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Ok, pour 0/ 1/.

Pour ce qui est de la continuité et de la non-affinité, là j'ai besoin de plus d'explication.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Bon après-midi
On doit résoudre l'équation du second degré, (est-ce encore au programme?):
$a^2-y^2a-x^2=0$ qui admet une seule racine positive: $a=\dfrac 12(y^2+\sqrt{4x^2+y^4})$.
On prouve ainsi qu'on obtient une famille de lignes de niveau dans le plan $\mathbb R^2$ privé de l'origine.
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est le conjugué de la rotation (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (\dfrac x2-\dfrac{\sqrt 3}2y,\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac y2)\}$ par l'affinité (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (x,\dfrac y{\sqrt a})\}$
Les calculs de conjugués sont-ils encore au programme?
En tout cas, j'ai la flemme de les faire pour le moment!
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Cher Pappus Noël,

Tu as écrit :
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est le conjugué de la rotation (vectorielle) : $\{(x,y)\mapsto (\dfrac x2-\dfrac{\sqrt 3}2y,\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac y2)\}$ par l'affinité (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (x,\dfrac y{\sqrt a})\}$

Je comprends que par cela tu veux convaincre que $T$ n'est pas affine, mais il doit me manquer un résultat qui fait que je ne vois pas pourquoi, alors si tu pouvais me faire ce cadeau, de préférence avant Noël... grinning smiley

Merci.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
Mon cher pourexemple
La restriction de $T$ à l'ellipse $\Gamma_a$ est, par définition, le conjugué de la rotation (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (\dfrac x2-\dfrac{\sqrt 3}2y,\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac y2)\}$ par l'affinité (vectorielle): $\{(x,y)\mapsto (x,\dfrac y{\sqrt a})\}$
Mais comme je l'ai dit à GaBuZoMeu, j'oublie le plus souvent en chemin la moitié de ce que je veux écrire!
Pour voir que $T$ n'est pas affine, tu fais ce calcul de conjugué, (faut quand même pas pousser pépé dans les bégonias!), tu écris explicitement les deux composantes de $T$ et avec les deux yeux qui t'ont été donnés, tu conclus que $T$ n'est pas affine.
Il ne reste plus qu'à montrer la continuité de $T$ à l'origine sachant que $T(0,0)=(0,0)$ par définition
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
@Pappus : le Redoutable Géomètre des Plaines Projectives (que j’abrégerai par le RGPP).

Là, j'avoue ne pas savoir ce qu'est un conjugué (au début je pensais que tu faisais référence à la composée).

Maintenant, GaBuZoMeu dit que ta solution marche, tu n'en ais pas encore convaincu, donc je demande à GaBuZoMeu d'essayer de t'en convaincre...

Bonne journée.
JLT
Re: Transformations continues du plan
il y a deux années
avatar
Citation
GaBuZoMeu
Aïe aîe ...

Aïe aïe...

@pourexemple : la restriction de la transformation $T$ de pappus au cercle unité est la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $2\pi/3$. Si $T$ était affine, comme une application affine est déterminée uniquement par sa restriction à un repère affine, on aurait $T=R$, ce qui n'est pas vrai puisque $R$ ne conserve pas les autres ellipses.
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