Geogebra et faisceau
Bonjour, est ce possible de paramétriser en geogebra une famille de conique (i.e obtenir par exemple tous les $(x^2 + y^2 -1) + t(2x^2 + 3y^2 - 2)$ en faisant bouger le curseur à l'écran). Ça doit être enfantin mais je ne sais pas trop comment marche ce logiciel. Merci d'avance !
Réponses
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comme ici
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Super merci ! Comment tu as fais pour rajouter une variable libre ?
Edit : j'ai trouvé c'est bon ! Merci encore (:D -
Amuses toi bien :-D
Tu voulais illustrer quoi avec la famille de conique ?
Je trouve que Geogebra est pas mal pour dessiner des courbes algébriques, y'a moyen de faire des trucs assez amusant X:-( -
Oui c'est top !
En fait en prenant $2$ coniques $C,C'$ on peut regarder la famille de coniques $C_{\lambda, \mu}$ définie par l'équation $\lambda C + \mu C' = 0$ pour $(\lambda, \mu) \in \mathbb P^1$ qui contient en général 3 points singuliers (i.e 3 $a,b,c \in \mathbb P^1$ tel que $C_a, C_b, C_c$ soient l'union de deux droites.) J'essayais d'observer ces coniques singulières et plus particulièrement certaines configurations mais je ne me débrouille pas très bien avec geogebra pour le moment ... :-D
Edit : succès total, grosse éclate (et zéro avancée dans mes révisions). -
Tu as quoi comme exam ?
Bonne chance ! -
Tu as beau cacher la droite double $y^2=0$ dans ton faisceau de coniques, on la voit tout de même ! Et tu peux constater que toutes les coniques du faisceau, sauf cette droite double, ont des tangentes verticales aux point $(1,0)$ et $(-1,0)$.
Ici le faisceau de coniques ne contient que deux coniques singulières, dont une compte double. -
Merci ! Géométrie algébrique, physique et topologie quantique. (><)
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GaBuZoMeu : le pire c'est que j'ai mis cette équation au hasard ... :-D Mais j'ai compris : mon système était équivalent à $\frac{2t+1}{t}(x^2 + y^2 - 1) + y^2 = 0$ et la droite double réapparaît :-D
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GaBuZoMeu j'en profite pour te poser une question : dans le PDF que je lis l'auteur donne la classification des pinceaux de coniques et dit qu'elle est uniquement déterminée par le type des points bases (4 points bases, $2P + Q + R$, $2P + 2 Q$, $3P + Q$, $4P$). Mais par exemple si on a deux pinceaux avec $4$ points base différents chacun, et qu'ils n'ont pas le même $j$-invariant il me semble qu'on ne peut pas envoyer un pinceau sur l'autre. Comment dois-je interpréter cette "classification" ?
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D'abord, c'est une classification sur $\C$.
De quel $j$-invariant parles-tu ?
Concernant les 4 points bases, il vaut mieux qu'il n'y en ait pas 3 d'alignés. Une telle famille (ordonnée) forme un repère projectif du plan. Et alors si on a deux telles familles (ordonnées) de 4 points, il y a une unique homographie du plan qui envoie la première sur la deuxième. Une telle homographie envoie le faisceau déterminé par les 4 points bases de la première famille sur le faisceau déterminé par les 4 points bases de la deuxième. -
J'ai dis une bêtise pour le $j$-invariant, merci pour l'explication !
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Je peux répondre : prendre les équations de $C$ et $C'$ sous forme matricielle, données par les matrices $M$ et $M'$ de taille $3\times 3$. Les coniques singulières du faisceau correspondent à l'annulation de $\det(\lambda M+\mu M')$, ce qui fait une équation homogène de degré $3$ en $(\lambda,\mu)$.
Vision géométrique, dans le cas où on a quatre points bases $A,B,C,D$ distincts : ces quatre points déterminent trois paires de droites : $\{(AB),(CD)\}$, $\{(AC),(BD)\}$ et $\{(AD),BC)\}$. -
GaBuZoMeu a parfaitement répondu ! À la base (haha) je voulais comprendre les faisceaux de cubiques mais je me suis dis que m'entraîner sur les coniques ne pouvait être qu'une bonne idée (si tu as envie de t'amuser flipflop il y a $12$ fibres singulières pour les faisceaux de cubiques dans le plan ... Y'a du boulot X:-( )
La référence que je lis : ici -
Merci GBZM, c'est ce que j'avais en tête plus ou moins !
Dis moi, Tu as une traduction " modulaire " ? Je sais c'est vraiment flou comme question !
Je veux dire que l'on peut comprendre : $C+tC^\prime$ comme une droite dans l' "espace" des coniques, est ce qu'on peut interpréter ce résultat, comme cette droite coupe en trois points une certaine courbe dans l'espaces des coniques ?
Je sais c'est encore flou :-D -
C'est expliqué dans le lien aussi :-D
L'espace des coniques c'est $\mathbb P^5$, si on écrit la matrice associé en fonction de ces coefficients et qu'on prends le déterminant c'est de degré $3$, donc l'intersection d'une ligne avec cette hypersurface c'est $3$ points. Dedans il y a encore la surface de Veronese $\mathbb P^2 \to \mathbb P^5$ (plongement de Veronese de degré $2$) qui représente les droites doubles d'équations $L^2 = 0$. -
L'espace des coniques, c'est $\mathbb{P}^5$, un faisceau de coniques est bien une droite dans cet espace, et l'ensemble des coniques singulières est une hypersurface de degré $3$ (annulation du déterminant de la matrice).
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En travaillant un peu on arrive également à obtenir les faisceaux tangentiels. On anime la figure par le paramètre $g$.
Bruno -
PS : l'espace des coniques est de dimension $5$. Donc dedans une droite et une courbe ont plutôt tendance à avoir une intersection zéro :-D Heureusement le discriminant est une hypersurface de degré $3$, donc n'importe quel droite intersecte $\Delta$ en trois points (comptés avec multiplicité
) -
Wahou merci Bruno ! Combien de tangentes communes possèdent deux coniques en général ?
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Quatre (la courbe duale d'une conique est une conique, et deux coniques ont quatre points d'intersection).
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C'est la dualité qui te donne le résultat : deux coniques ont quatre points communs, en général, de même deux coniques ont quatre tangentes communes en général.
Bruno -
Tout simplement, merci beaucoup !
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Salut,
Je reviens un peu sur ce problème de déterminant. Si j'ai bien compris quand le déterminant s'annule, on dispose d'une factorisation du polynôme homogène (en $x,y,z$) de degré $2$ en produit de deux formes.
donc on peut envisager un morphisme $$\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^5$$
Qui s'obtient en développant $(ax+by+cz) \times (a^\prime x+b^\prime y+c^\prime z)$
Par contre, il faut se faire un petit quotient de $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ par la permutation $(U,V) \to (V,U)$.
Du coup, si je raconte pas de bêtises, le truc de Veronese, ça correspond juste à ajouter le morphisme diagonal :
$\mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ dans l'histoire ? -
C'est plutôt un Veronese du côté dual, je dirais : de l'espace projectif des formes linéaires dans l'espace projectif des formes quadratiques.
-
Du coup, c'est sympa : je viens de comprendre un peu mieux !
Disons je cherche à trouver toutes les coniques passant par $4$ points.
On obtient une droite dans $ \mathbb{P}^5$. ($4$ équations de degré $1$) et pour décrire toutes ces coniques il suffit d'en trouver deux.
Par exemple, $x^2+y^2-z^2 = 0$ et $xy=0$. Passe par les $4$ points ...
Oui mais pour trouver deux coniques qui s'intersectent en $4$ points données, on peut prendre le cas dégénérée.
Un exemple,
je prend les points (je passe en affine $z=1$ dans $\mathbb{P}^2$)
$$
(-2,0) \quad (0,1) \quad (0,-1) \quad (1,0)
$$
Edit : du premier point (-2,2)
Si je prend la double droite $[ (2y-x-2z)(y-x+z)=0 ]$ et la double droite $[(y+x-z)(2y+x+2z) = 0 $, elles passent toutes deux par les $4$ points.
Je peux prendre : $$ C : \ u \times (2y-x-2z)(y-x+z) + v \times (y+x-z)(2y+x+2z) = 0 $$
Et j'obtiens toutes les coniques qui passe par les $4$ points. -
Un détail : il faut que tes $4$ points soient en "position général" i.e non alignés, sinon il y a beaucoup de coniques qui vont passer par ces $4$ points. Cependant je suis un peu confus : j'ai l'impression que ta conique $[ (2y-x-2z)(y-x+z)=0 ]$ ne passe pas par les points requis.
Question subsidiaire : comment obtenir seulement deux fibres singulières sur un faisceau ? Quel est l'interprétation géométrique ? (PS : je triche bien sûr car j'ai lu tout ça dans mon fichier :-D ) -
Merci, c'est le point $(-2,2)$ qui foire : $(-2,0)$, on dit que je ne suis pas réveiller
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Ok super !
Une petite remarque (encore !) : si tu prends le faisceau $\lambda F + \mu G = 0$, il ne dépends que de la classe $(\lambda : \mu) \in \mathbb P^1$. Donc quitte à oublier un membre du faisceau on peut passer en affine et regarder $F + \mu G = 0$ qui ne dépends plus que d'un paramètre. -
Ok, on se comprend parfaitement ! Mais là, la situation est linéaire, on intersecte des plans ...
Tu sais comment faire pour décrire les coniques tangentes à une droite et passant par trois points ? -
Hum ça dépends où se trouve cette droite. Par exemple, si elle passe par l'un des points bases (disons $(0,0)$), on peut supposer que c'est la droite d'équation $y = 0$ : alors il suffit de prendre des coniques de la forme $y + f(x)$ avec $f$ un polynôme de degré $2$. Comme on a envie qu'elle passe par l'origine on doit demander que $f(0) = 0$. Ce qui donne un tel faisceau avec $y + x^2 + axy = 0$. Et ça marche bien !
Ceci dit j'ai l'impression que mon exemple est très dégénéré. -
En fait j'ai dit n'importe quoi j'ai juste donné un faisceau passant par $(0,0)$ et tangent à $y = 0$. :-D
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Bon, après quelques calculs infructueux je trouve que $bx^2 + 2y^2 - (b+1)xy - 2y = 0$ vérifie les propriétés demandées : il est tangent à la droite $y=0$, et passe par les points $(0,0), (1,0)$ et $(2,2)$.
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On trouve bien comme prévu les deux coniques singulières : d'abord l'union des deux droites passant toutes les deux par $(0,0)$ (pas très visible sur geogebra) et l'union de $y = 0$ avec la droite passant par $(0,1)$ et $(2,2)$.
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Salut,
J'ai vu ton géogéb. En fait je pensais autre chose mais pas grave, ça me fait penser a un truc amusant, je vais essayé de mettre ça en place aujourd'hui.
Juste rapidement :
Pour chaque $p_1,\dots,p_4$ (en bonne condition), on a une famille de conique qui passe par les $4$ points. L'idée, c'est de déformer les points pour que deux d'entre eux se rencontre ... et en priant très fort on devrai pouvoir retomber sur $3$ points et une tangente passant par le point qu'on a fait se rencontrer !
$$ t \to (p_1,p_2,p_3,tp_3+(1-t)p_4 ) $$ -
flipflop, si j'ai compris ce que tu cherches, c'est un faisceau ponctuel avec un contact, ce faisceau contient deux coniques impropres : la réunion des droites $(AB)$ et $(AC)$ où $A$ est le point de contact commun aux coniques du faisceau ; la seconde conique impropre est la réunion des droites $(BC)$ et de la tangente commune en $A$. C'est toujours le même point d'attaque, trouver deux coniques impropres du faisceau.
Bruno -
Super Bruno
En fait comme l'espace tangent en $A$ (singulier) c'est tout l'espace ! Je comprend mieux ! -
flipflop : (tu)
J'ai voulu essayer un faisceau avec deux points bases seulement, et une seule conique singulière. Question : que signifie que deux courbes sont "flexed to each other" ? Je dirais que c'est un contact d'ordre $3$ mais je n'arrive pas à le voir sur le dessin : les courbes sont sensé avoir ce contact avec la droite $x=0$ (ce qui semble plausible) et la courbe bleue (ce qui me semble très étrange). En tout cas on voit déjà qu'il n'y a qu'une seule conique singulière. Le faisceau est donné par $uC + vC' = 0$ avec $C : x - y^2 = 0$ et $C' : x(x-y) = 0$. -
Beau dessin :-) ! Pour rire, un faisceau ponctuel osculateur. Pour animer, il suffit de cliquer droit sur la donnée "a" dans la partie algèbre et sélectionner "animer".
Bruno -
Je fais le coup, de la déformation !
Dans l'exemple,
On dispose de $3$ points fixes :
$$
A := (1,2) \quad B:=(2,-1) \quad C:=(0,-1)
$$
Et d'un point variable $D := (-1+t,t)$.
L'idée est que lorsque $t =2$ le point $D$ devient le point $A$.
On considère le faisceaux des coniques $\mathcal{C}_t(u,v)$ passant par $A,B,C,D(t)$ :
$$
u*(x+1)*(y-x-1)+v*(3*x+y-5)*((t-1)*y-(t+1)*x+(t-1))=0
$$
Il faut voir ça comme : une famille de faisceaux de conique passant par $4$ points. Lorsque $t=2$, on trouve le faisceau de conique passant par $A$ $B$ et $C$ et tangente en $A$ selon la droite $y=x+1$ (la droite contenant tout les $D(t)$ (si on prend une déformation de $D$ suivant une courbe, je pense qu'il faut prendre la dérivée en $A$).
Faudrait formaliser ce truc :-D -
Pour Bergtatt.
Un faisceau avec deux points communs est soit un faisceau bi-tangent ; si $A$ et $B$ sont les deux points de contact, les deux coniques impropres sont celle constituée par les deux tangentes en $A$ et $B$ et la conique impropre de points doubles $(AB)$. Sinon, c'est un faisceau osculateur, voir le fichiers posté ci-dessus.
Bruno -
Bonjour
Décrire le faisceau des coniques surosculatrices à une parabole en son point à l'infini.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,
$y=x^2+\lambda$ -
Merci GaBuZoMeu!
Elles forment donc une orbite sous l'action d'un groupe de translations.
Et quid du cas général du faisceau des coniques surosculatrices à une conique donnée en un point donné?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour Pappus,
Qu'est ce que ça veut dire surosculatrices ?
Merci -
Avoir un point d'intersection de multiplicité 4.
-
Ah ok, du coups, si j'ai bien compris, disons que l'on prend comme conique : $x^2+y^2=2$ et $A := (1,1)$. On prend : $$(y+x-2)^2+u (x^2+y^2-2) = 0$$
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Bonjour!
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