Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
229 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Deux paraboles

Envoyé par Yvette 
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Bonjour,

Une question de poulbot restée sans réponse.
Le triangle $ABC$ étant donné, pour quelles positions de $D$ existe-t-il deux paraboles passant par $A,B,C,D$ ?


Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Le discriminant de "la tripolaire coupe inSteiner" est $-16\, \left( x\rho+\sigma\,y+z\tau \right) z\tau\,y\sigma\,\rho\,x$.
Donc l'intérieur du triangle = non. Et cela change chaque fois que l'on coupe un côté.
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
OK



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par pappus.
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Bonjour pappus,

Peut-être [ce message] t'a-t-il échappé ?
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Non Gai Requin!
Il ne m'avait pas échappé!
Mais il y a deux cas de figure:
Soit $f$ fixe les points à l'infini de $\mathcal H$ soit il les échange, etc....
Mais quelle est la différence en termes de théorie des groupes entre les cas elliptique, hyperbolique et paraboliques?
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Bien vu le coup de la permutation des points à l'infini !
Est-ce qu'au moins je suis parti du bon pied avec ces bijections affines conservant une hyperbole ?
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Mon cher Gai Requin
Tout ce que je te demande, c'est d'identifier le sous-groupe du groupe affine stabilisant une conique non décomposée du plan affine et suivant le genre: ellipse, hyperbole, parabole d'en donner un représentant dans chaque classe d'isomorphisme.
Amicalement
pappus
PS
Autant travailler de suite avec les coniques du plan affine $\mathbb R^2$!
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Bonsoir pappus,

$f$ stabilise $\mathcal P:y=x^2\Leftrightarrow$ il existe $a\neq 0$ et $b$ tels que $f:(x,y)\mapsto (ax+b,2abx+a^2y+b^2)$.
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Bien vu Gai Requin!
Et ce groupe est isomorphe à un groupe dont les éléments s'écrivent plus simplement et qui porte un nom archiconnu!
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Je ne vois pas. confused smiley
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Les stabilisateurs de l'ellipse $x^2+y^2=1$ sont les $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ et les $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$.

Les stabilisateurs de l'hyperbole $xy=1$ sont les $\begin{pmatrix}t&0\\0&1/t\end{pmatrix}$ et les $\begin{pmatrix}0&t\\1/t&0\end{pmatrix}$.
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Bonne Nuit Gai Requin
Le groupe de la parabole est tout simplement isomorphe au groupe des $x\mapsto ax+b$ avec $a\not =0$.
Quel est le nom de ce groupe?
Pour l'ellipse, c'est $O(2,\mathbb R)$
et pour l'hyperbole?
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Bonjour pappus,

On pouvait se douter a priori que le groupe affine de la parabole (un seul point à l'infini) est isomorphe au groupe affine de la droite (un seul point à l'infini).
Mais je n'ai aucune idée des noms que tu veux me faire découvrir...
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Mon cher Gai Requin
Le groupe affine de la parabole est tout simplement isomorphe au groupe de la droite affine, c'est tout ce que je voulais te faire dire.
Quelles en sont les conséquences géométriques?
Le groupe affine d'une ellipse est isomorphe au groupe des isométries du cercle
Et le groupe affine d'une hyperbole que peut-on en dire?
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Le groupe affine de la parabole est donc isomorphe à un groupe d'homothéties-translations.
Re: Deux paraboles
il y a six semaines
Mon cher Gai Requin
Groupe des homothéties-translations d'une droite affine.
Donc en principe, on est capable de définir le rapport (de section comme dirait notre ami Soland) de trois points d'une parabole affine.
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Exact pappus !
Dans un repère où l'équation de la parabole $\mathcal P$ est $y=x^2$, on peut définir le rapport de $A,B,C\in\mathcal P$ comme le rapport de leurs abscisses.
D'après ce qui précède, toute bijection affine de $\mathcal P$ conserve ce rapport.
On vient donc de munir $\mathcal P$ d'une structure de droite affine !

Quid de l'hyperbole ?
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Une droite projective moins deux points, on voit arriver un groupe multiplicatif qui agit dessus de façon simplement transitive. Et avec $y=1/x$ ...
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Soit $d=AB$ et $G$ le groupe des homographies de $d$ qui fixe globalement $\{A,B\}$.
L'action de $G$ sur $d\setminus\{A,B\}$ n'est-elle pas doublement transitive ?
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
pappus,

Le groupe de l'hyperbole $xy=1$ est engendré par les involutions $\begin{pmatrix}0&t\\1/t&0\end{pmatrix}$.
Je ne vois pas trop quoi dire d'autre...
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Bonsoir Gai requin
C'est un produit semi-direct?
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
gai requin écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------

Pourquoi "globalement" ? Étant donnés des points $M,P$ distincts de $A$ et $B$, n'y a-t-il pas une homographie de la droite projective et une seule envoyant $(A,B,M)$ sur $(A,B,P)$ ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Oui, mais il existe aussi une et une seule homographie de la droite projective telle que $(A,B,M)\mapsto (B,A,P)$ et elle est involutive.
P.S. : Je me suis planté sur "doublement transitive", dont la définition n'est pas celle que je croyais.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Oui pappus,

Soit $G$ le groupe affine de l'hyperbole.
Soit $H$ le sous-groupe de $G$ formé des matrices $\begin{pmatrix}t&0\\0&1/t\end{pmatrix}$.
Il est clair que $H$ est distingué dans $G$ et qu'il est isomorphe à $\mathbb R^*$.
En considérant alors $\det : G\to\{\pm 1\}$, il est facile de montrer que $G$ est isomorphe au produit semi-direct externe $\mathbb R^*\rtimes_{\theta}\{\pm 1\}$, avec $\theta(-1):x\mapsto x^{-1}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
@GBZM : Soit $(a,b)$ et $(a',b')$ deux points de $\mathcal H:xy=1$.
Il existe exactement deux bijections affines conservant $\mathcal H$ qui envoient $(a,b)$ sur $(a',b')$, à savoir $(x,y)\mapsto \left(\dfrac{a'}ax,\dfrac a{a'}y\right)$ et $(x,y)\mapsto \left(\dfrac{a'}by,\dfrac b{a'}x\right)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Gai Requin
Tu vois que la situation est fort différente dans le cas de la parabole.
Soient $P$ et $Q$ deux points d'une parabole affine $\Pi$.
Quels sont les éléments du groupe affine de $\Pi$ envoyant $P$ sur $Q$?
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
gai requin, tu as tout de même vu qu'il y a bien une action simplement transitive du groupe multiplicatif sur l'hyperbole affine ? Non, toujours pas ?
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
@GBZM : Oui, en prenant le sous-groupe du groupe affine de l'hyperbole formé des bijections qui fixent chacun des deux points à l'infini.
Mais où veux-tu en venir ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Bonsoir pappus,

Il y a un élément singulier du groupe affine de $\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$.

Soit $\mathcal T$ la tangente à $\Pi$ en $P$.
Soit $\Delta$ la droite passant par $P$ dans la direction asymptotique de $\Pi$.
Soit $I\in\mathcal T$ et $J\in\Delta$ tels que $PIQJ$ est un parallélogramme.
Soit $q=I+3J-3P$.
Soit $f$ la transvection d'axe $\Delta$ qui envoie $Q$ sur $q$ et $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{PQ}$.
Alors $t\circ f$ est dans le groupe affine de $\Pi$ et envoie $P$ sur $Q$.


Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Les autres telles bijections sont des homothéties-affinités.

Soit $i=I+2J-2P$.
Soit $\delta$ une droite passant par $P$ qui n'est ni $Pi$, ni $\mathcal T$, ni $\Delta$.
Soit $A$ l'autre point d'intersection de $\delta$ avec $\Pi$ et $B$ le milieu de $AP$.
La parallèle à $\Delta$ passant par $B$ coupe $PQ$ en $\Omega$.
Soit $g$ l'affinité d'axe $\delta$ qui envoie $I$ sur $i$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ qui envoie $P$ sur $Q$.
Alors $h\circ g$ est dans le groupe affine de $\Pi$ et envoie $P$ sur $Q$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.


Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Gai Requin
Je n'ai absolument rien mais rien compris à tes deux derniers messages et je n'ai même pas trouvé l'idée géométrique derrière tes constructions.
Par exemple je doute fort que le $t\circ f$ de ton avant dernier message soit dans le groupe affine de la parabole c'est à dire qu'il laisse la parabole invariante.
Je pense qu'il vaut mieux sérier les difficultés.
Sur l'écran de ton ordinateur, on dispose de la parabole $\Pi$ et de sa direction asymptotique $\delta$
Tu choisis deux points $P$ et $Q$ sur la parabole.
Le groupe affine $G$ de $\Pi$ est le sous-groupe du groupe affine du plan laissant la parabole $\Pi$ globalement invariante.
On vient de voir que $G$ est isomorphe au groupe de la droite affine.
$G$ contient donc un sous-groupe $G(T)$ isomorphe au groupe des translations de la droite affine et qui va opérer de façon simplement transitive sur $\Pi$.
Il existe donc un unique élément $t\in G(T)$ tel que $t(P)=Q$
Soit $P'\in \Pi$.
Construis moi de façon simple et claire le point $Q'=t(P')$.
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Je t'assure pappus que, et $t\circ f$, et $h\circ g$ ci-dessus sont dans le groupe affine de $\Pi$.
D'ailleurs, $t\circ f$ est la translation que tu mentionnes, elle envoie $M$ sur $M'$ sur ma figure.
Et $h\circ g$ est l'homothétie de centre $\Omega B\cap\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$.

P.S. : Si on se donne juste le centre $\omega$ de l'homothétie $($sur $\Pi\setminus\{P,Q\})$, il est très facile de retrouver $h$ et $g$...



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
pappus,

Dans le repère $(P,I,J)$, $Q$ a pour coordonnées $(1,1)$, $\Pi$ a pour équation $y=x^2$ donc toute application du groupe affine de $\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$ est de la forme $f_a:(x,y)\mapsto (ax+1,2ax+a^2y+1)$ avec $a\neq 0$.
J'ai ensuite dévissé ces applications en traitant à part le cas $a=1$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Gai Requin
Cela?
Ce ne sont que des calculs.
Moi je t'attends au niveau graphique!
Des figures, des figures, des figures après les indispensables calculs
Par exemple, quelle est la transformation $P'\mapsto Q'$, suggérée par la figure ci-dessous?
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par pappus.


Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Avec les notations de mon dernier message, on a, $($pour tout $P'\in\Pi$ d'image $Q'$ par $f_a$, $PQ'//P'Q)\Leftrightarrow a=1$.
Donc, sur ta figure, $P'\mapsto Q'$ par l'unique translation de $\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Et ça, c'est quoi ? winking smiley

Remarque : quand $P'=Q$, la droite $P'Q$ devient la tangente à $\Pi$ en $Q$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.


Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Gai Requin
Excuse moi.
J'avais fait une erreur en refaisant la construction de ta première figure.
Ton application affine $t\circ f$ appartient bien au groupe affine de la parabole et laisse bien la parabole invariante.
Mais ta définition du point $I$ laissait aussi à désirer.
Donc tu fais des calculs de je ne sais quelle transformation dans je ne sais trop quel repère puis tu nous infliges une figure en nous disant qu'elle résulte de tes calculs. On est bien obligé de te croire.
Il se trouve que ta transformation est par je ne sais trop quel miracle, justement la translation qui envoie $P$ sur $Q$.
Avoue quand même que ma figure est plus simple que la tienne et qu'il faut la justifier directement en tout cas pas par tes supposés calculs.
Félicitation pour ta dernière figure qui est bien celle de l'homothétie $h$ de centre $\Omega$ envoyant $P$ sur $Q$ et sur ta figure, on lit bien que: $Q'=h(P')$
Là aussi j'attends une explication claire!
Amicalement
pappus
Petite colle historique
Du groupe $G$ de la parabole, quelle est le seul élément qu'on apprenait autrefois dans le Lebossé-Hémery?
Je doute qu'il soit encore connu aujourd'hui dans une géométrie affine réduite à l'Axiome de Thalès!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par pappus.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
J'ai parfaitement défini $I$ et $J$ mais peu importe.

Soit $g$ dans le groupe affine de $\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$.
Soit $f$ la restriction de $g$ à $\Pi$.
$f$ est en fait une homographie de $\Pi$ qui fixe son point à l'infini.
Donc l'axe de $f$ passe par $\infty_{\Pi}$.
Deux cas peuvent alors se présenter :
1) Si $f$ n'a pas d'autre point fixe, c'est une translation et son axe est la droite de l'infini.
Donc, pour tout $P'\in\Pi$ d'image $Q'$, $PQ'$ et $P'Q$ se coupent à l'infini, i.e. elles sont parallèles.
2) Si $f$ a un autre point fixe $\Omega\in\Pi$, c'est l'homothétie de centre $\Omega$ et son axe est $\Omega\infty_{\Pi}$, où $PQ'$ et $P'Q$ se coupent.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Merci Gai Requin pour cette explication projective qui doit passer au dessus de la tête de tous ceux et ils sont l'immense majorité, qui n'ont pas le début du commencement de l'idée qu'un jour la géométrie projective a été enseignée chez nous!
Il n'y avait donc pas besoin de calculs!
Mais le lien avec la géométrie affine est encore un peu diffus, notamment pourquoi telle transformation serait une translation ou une homothétie et pourquoi la parabole aurait une structure de droite affine
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
J'ai un peu modifié le début de mon message précédent en parlant de la restriction qui t'a intéressé dans les derniers messages.

Pour le reste, je tente une explication.
Soit $D$ une droite projective et $\mathcal C$ la conique projective d'équation $YZ=X^2$.
Soit $\varphi:D\to\mathcal C$, $(a:b)\mapsto (ab:a^2:b^2)$.
Alors $\varphi$ est un isomorphisme d'inverse $(X:Y:Z)\mapsto (X:Z)=(Y:X)$.
N.B. : $\varphi(1:0)=(0:1:0)$.
Or, $d=D\setminus\{(1:0)\}$ a une structure de droite affine.
Donc, via $\varphi$, on peut mettre une structure de droite affine sur $\Pi=\mathcal C\setminus\{(0:1:0)\}$ qui est une parabole affine !
Par exemple, une translation de $d$ est la restriction à $d$ d'une homographie de $D$ dont le seul point fixe est $(1:0)$.
Donc une translation de $\Pi$ est la restriction à $\Pi$ d'une homographie de $\mathcal C$ dont le seul point fixe est $(0:1:0)$.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Merci Gai Requin
C'est exact mais encore trop abstrait pour tes lecteurs!
En fait nos aïeux mettaient sur une conique projective une structure de droite projective sans faire le moindre calcul ou presque.
C'est cette façon de faire qu'il faut transférer à la parabole affine mutatis mutandis!
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Gai Requin
Je t'asticote encore un peu bien amicalement.
Tu as écrit:
Citation
Gai Requin
Soit $\mathcal T$ la tangente à $\Pi$ en $P$.
Soit $\Delta$ la droite passant par $P$ dans la direction asymptotique de $\Pi$.
Soit $I\in\mathcal T$ et $J\in\Delta$ tels que $PIQJ$ est un parallélogramme.
Tu ne dis rien de plus sur le point $I$.
Mais sur ta figure non seulement le point appartient à la tangente en $P$ à $\Pi$ mais est aussi situé sur la parallèle à $\Delta$ passant par $Q$!
Il fallait le dire mais j'ai bien compris que ce n'était qu'un simple oubli!
Je ne te reproche rien car la plupart du temps je ne me souviens même plus de ce que j'ai fait il y a cinq minutes!
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par pappus.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Soit $\Pi$ une parabole affine.
On fixe un point $O$ sur $\mathcal C=\Pi\cup \{\infty_{\Pi}\}$.
Rappel : le birapport de $A,B,C,D\in\mathcal C$ est $[A,B,C,D]=[OA,OB,OC,OD]$ qui ne dépend pas de $O$.
On peut alors définir le rapport de section de $A,B,C\in\Pi$ par $[A,B;C]=[A,B,C,\infty_{\Pi}]$, ce qui donne à $\Pi$ une structure de droite affine.

Soit maintenant $f$ dans le groupe affine de $\Pi$.
$f$ est la restriction au plan affine d'une homographie $g$ du complété projectif du plan affine telle que $g(\infty_{\Pi})=\infty_{\Pi}$.
Par construction, $g|\mathcal C$ est une homographie.
Donc, pour tous $A,B,C\in\Pi$, $[f(A),f(B),f(C),\infty_{\Pi}]=[g(A),g(B),g(C),g(\infty_{\Pi})]=[A,B,C,\infty_{\Pi}]$.
Bref, $f|\Pi$ conserve le rapport de section donc elle est affine pour la structure affine de $\Pi$ décrite ci-dessus.
En particulier, $f|\Pi$ est soit l'identité, soit une translation si elle n'a aucun point fixe, soit une homothétie si elle a un unique point fixe, sans oublier que $g$ fixe $\infty_{\Pi}$.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Gai Requin
Tu as pratiquement tout bon.
Bravissimo!
Maintenant tu te donnes dans le plan affine une parabole $\Pi$ et dessus trois points $A$, $B$, $C$.
Comment mesures-tu graphiquement sur la figure le rapport de section $[A,B;C]$?
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Les courbes de niveau de $f(M)\doteq {\rm birap}(MA,MB,MC,MD)$ sont les coniques passant par $A,B,C,D$. Et alors la fameuse structure affine vient de ce que le birapport conique, n'est rien d'autre qu'un birapport droitique, qui n'est rien d'autre que le birapport des paramètres. Encore une taupinière !

En fait, pour affiner ce résultat, qui est en fait un résultat projectif, on tue 0 ou 1 ou 2 points à l'infini. Et l'on se retrouve à gérer trois taupinières différentes. Quelle avancée !

Ps: Wrt $A,B,C$, les perspecteurs de ces coniques sont sur la tripolaire de $D$. Propriété utile s'il en est !
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Bonjour pappus,

Je ne peux pas faire de figure aujourd'hui.
Pour ta question graphique, j'appliquerais la définition de mon précédent message en choisissant $O=\infty_{\Pi}$.
Si $\Delta$ est la droite de l'infini, on a donc pour tous $A,B,C\in\Pi$,$$[A,B;C]=[A\infty_{\Pi},B\infty_{\Pi},C\infty_{\Pi},\Delta].$$
Soit alors $\delta$ une droite qui n'est pas dans la direction asymptotique de $\Pi$.
Soit $a,b,c$ les projetés sur $\delta$ parallèlement à cette direction asymptotique.
Alors $[A,B;C]=[a,b;c]$.

Et on transporte comme cela la structure affine de $\delta$ vers $\Pi$.
Elle est pas belle la vie ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par gai requin.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Pierre
Comme tu le sais la géométrie projective a disparu.
Il ne nous reste que la géométrie affine sans doute très provisoirement
Il est quand même intéressant de voir avec les moyens du bord actuels qu'une parabole possède une structure de droite affine.
Je comprends parfaitement que ce n'est qu'une taupinière pour toi mais ce n'en est pas une pour ceux qui ne connaissent de la géométrie affine que l'Axiome de Thalès!
Amicalement
pappus
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
pappus,

J'ai répondu ci-dessus à ta question très pertinente concernant le rapport de section sur une parabole.
Cela complète parfaitement mon message de la nuit dernière.
Merci !
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
"Comme tu le sais la géométrie projective a disparu"
Une carte graphique est un calculateur massivement parallèle pour faire de la géométrie projective.
Il ne semble pas que les cartes graphiques soient au bord de la disparition.

"ce n'est qu'une taupinière pour toi". Pas du tout. La géométrie dite affine n'est qu'une méthode pour transformer
n'importe quelle taupinière projective en une montagne. A cheval, cavalier! Gardons la perspective !

Rappel: résoudre en $x,y$ le système $ax+by+c=0 ; a'x+b'y+c'=0$ c'est déjà faire de la géométrie projective. C'est en tout cas ce que prétendent les formules de Cramer.

Cordialement, Pierre.
Re: Deux paraboles
il y a cinq semaines
Mon cher Pierre
Bien sûr la géométrie projective n'a pas disparu pour ses utilisateurs professionnels.
Elle a seulement disparu de notre enseignement.
Quand j'étais jeune, j'utilisais des cartes IGN, des abaques, des règles et même des compas, aujourd'hui nous avons des GPS et des systèmes de calcul intégré pour neutraliser les objectifs comme on le dit pudiquement pour ne pas effaroucher les âmes sensibles!
Effectivement il peut arriver qu'on fasse par hasard de la géométrie projective sans le savoir.
Mais le mot d'ordre aujourd'hui, c'est surtout surtout:
sans le Savoir
Amicalement
pappus
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 660, Messages: 1 375 479, Utilisateurs: 25 641.
Notre dernier utilisateur inscrit Bachoc.


Ce forum
Discussions: 8 340, Messages: 95 872.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page