Deux paraboles

OK

Non Gai Requin!
Il ne m'avait pas échappé!
Mais il y a deux cas de figure:
Soit $f$ fixe les points à l'infini de $\mathcal H$ soit il les échange, etc....
Mais quelle est la différence en termes de théorie des groupes entre les cas elliptique, hyperbolique et paraboliques?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
Tout ce que je te demande, c'est d'identifier le sous-groupe du groupe affine stabilisant une conique non décomposée du plan affine et suivant le genre: ellipse, hyperbole, parabole d'en donner un représentant dans chaque classe d'isomorphisme.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Autant travailler de suite avec les coniques du plan affine $\mathbb R^2$!

Bien vu Gai Requin!
Et ce groupe est isomorphe à un groupe dont les éléments s'écrivent plus simplement et qui porte un nom archiconnu!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Les stabilisateurs de l'ellipse $x^2+y^2=1$ sont les $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ et les $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$.

Les stabilisateurs de l'hyperbole $xy=1$ sont les $\begin{pmatrix}t&0\\0&1/t\end{pmatrix}$ et les $\begin{pmatrix}0&t\\1/t&0\end{pmatrix}$.

Bonjour pappus,

On pouvait se douter a priori que le groupe affine de la parabole (un seul point à l'infini) est isomorphe au groupe affine de la droite (un seul point à l'infini).
Mais je n'ai aucune idée des noms que tu veux me faire découvrir...

Le groupe affine de la parabole est donc isomorphe à un groupe d'homothéties-translations.

Exact pappus !
Dans un repère où l'équation de la parabole $\mathcal P$ est $y=x^2$, on peut définir le rapport de $A,B,C\in\mathcal P$ comme le rapport de leurs abscisses.
D'après ce qui précède, toute bijection affine de $\mathcal P$ conserve ce rapport.
On vient donc de munir $\mathcal P$ d'une structure de droite affine !

Quid de l'hyperbole ?

Soit $d=AB$ et $G$ le groupe des homographies de $d$ qui fixe globalement $\{A,B\}$.
L'action de $G$ sur $d\setminus\{A,B\}$ n'est-elle pas doublement transitive ?

Bonsoir Gai requin
C'est un produit semi-direct?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Oui, mais il existe aussi une et une seule homographie de la droite projective telle que $(A,B,M)\mapsto (B,A,P)$ et elle est involutive.
P.S. : Je me suis planté sur "doublement transitive", dont la définition n'est pas celle que je croyais.

@GBZM : Soit $(a,b)$ et $(a',b')$ deux points de $\mathcal H:xy=1$.
Il existe exactement deux bijections affines conservant $\mathcal H$ qui envoient $(a,b)$ sur $(a',b')$, à savoir $(x,y)\mapsto \left(\dfrac{a'}ax,\dfrac a{a'}y\right)$ et $(x,y)\mapsto \left(\dfrac{a'}by,\dfrac b{a'}x\right)$.

gai requin, tu as tout de même vu qu'il y a bien une action simplement transitive du groupe multiplicatif sur l'hyperbole affine ? Non, toujours pas ?

Bonsoir pappus,

Il y a un élément singulier du groupe affine de $\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$.

Soit $\mathcal T$ la tangente à $\Pi$ en $P$.
Soit $\Delta$ la droite passant par $P$ dans la direction asymptotique de $\Pi$.
Soit $I\in\mathcal T$ et $J\in\Delta$ tels que $PIQJ$ est un parallélogramme.
Soit $q=I+3J-3P$.
Soit $f$ la transvection d'axe $\Delta$ qui envoie $Q$ sur $q$ et $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{PQ}$.
Alors $t\circ f$ est dans le groupe affine de $\Pi$ et envoie $P$ sur $Q$.

Mon cher Gai Requin
Je n'ai absolument rien mais rien compris à tes deux derniers messages et je n'ai même pas trouvé l'idée géométrique derrière tes constructions.
Par exemple je doute fort que le $t\circ f$ de ton avant dernier message soit dans le groupe affine de la parabole c'est à dire qu'il laisse la parabole invariante.
Je pense qu'il vaut mieux sérier les difficultés.
Sur l'écran de ton ordinateur, on dispose de la parabole $\Pi$ et de sa direction asymptotique $\delta$
Tu choisis deux points $P$ et $Q$ sur la parabole.
Le groupe affine $G$ de $\Pi$ est le sous-groupe du groupe affine du plan laissant la parabole $\Pi$ globalement invariante.
On vient de voir que $G$ est isomorphe au groupe de la droite affine.
$G$ contient donc un sous-groupe $G(T)$ isomorphe au groupe des translations de la droite affine et qui va opérer de façon simplement transitive sur $\Pi$.
Il existe donc un unique élément $t\in G(T)$ tel que $t(P)=Q$
Soit $P'\in \Pi$.
Construis moi de façon simple et claire le point $Q'=t(P')$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus,

Dans le repère $(P,I,J)$, $Q$ a pour coordonnées $(1,1)$, $\Pi$ a pour équation $y=x^2$ donc toute application du groupe affine de $\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$ est de la forme $f_a:(x,y)\mapsto (ax+1,2ax+a^2y+1)$ avec $a\neq 0$.
J'ai ensuite dévissé ces applications en traitant à part le cas $a=1$.

Avec les notations de mon dernier message, on a, $($pour tout $P'\in\Pi$ d'image $Q'$ par $f_a$, $PQ'//P'Q)\Leftrightarrow a=1$.
Donc, sur ta figure, $P'\mapsto Q'$ par l'unique translation de $\Pi$ qui envoie $P$ sur $Q$.

Mon cher Gai Requin
Excuse moi.
J'avais fait une erreur en refaisant la construction de ta première figure.
Ton application affine $t\circ f$ appartient bien au groupe affine de la parabole et laisse bien la parabole invariante.
Mais ta définition du point $I$ laissait aussi à désirer.
Donc tu fais des calculs de je ne sais quelle transformation dans je ne sais trop quel repère puis tu nous infliges une figure en nous disant qu'elle résulte de tes calculs. On est bien obligé de te croire.
Il se trouve que ta transformation est par je ne sais trop quel miracle, justement la translation qui envoie $P$ sur $Q$.
Avoue quand même que ma figure est plus simple que la tienne et qu'il faut la justifier directement en tout cas pas par tes supposés calculs.
Félicitation pour ta dernière figure qui est bien celle de l'homothétie $h$ de centre $\Omega$ envoyant $P$ sur $Q$ et sur ta figure, on lit bien que: $Q'=h(P')$
Là aussi j'attends une explication claire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Petite colle historique
Du groupe $G$ de la parabole, quelle est le seul élément qu'on apprenait autrefois dans le Lebossé-Hémery?
Je doute qu'il soit encore connu aujourd'hui dans une géométrie affine réduite à l'Axiome de Thalès!

Merci Gai Requin pour cette explication projective qui doit passer au dessus de la tête de tous ceux et ils sont l'immense majorité, qui n'ont pas le début du commencement de l'idée qu'un jour la géométrie projective a été enseignée chez nous!
Il n'y avait donc pas besoin de calculs!
Mais le lien avec la géométrie affine est encore un peu diffus, notamment pourquoi telle transformation serait une translation ou une homothétie et pourquoi la parabole aurait une structure de droite affine
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin
C'est exact mais encore trop abstrait pour tes lecteurs!
En fait nos aïeux mettaient sur une conique projective une structure de droite projective sans faire le moindre calcul ou presque.
C'est cette façon de faire qu'il faut transférer à la parabole affine mutatis mutandis!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Soit $\Pi$ une parabole affine.
On fixe un point $O$ sur $\mathcal C=\Pi\cup \{\infty_{\Pi}\}$.
Rappel : le birapport de $A,B,C,D\in\mathcal C$ est $[A,B,C,D]=[OA,OB,OC,OD]$ qui ne dépend pas de $O$.
On peut alors définir le rapport de section de $A,B,C\in\Pi$ par $[A,B;C]=[A,B,C,\infty_{\Pi}]$, ce qui donne à $\Pi$ une structure de droite affine.

Soit maintenant $f$ dans le groupe affine de $\Pi$.
$f$ est la restriction au plan affine d'une homographie $g$ du complété projectif du plan affine telle que $g(\infty_{\Pi})=\infty_{\Pi}$.
Par construction, $g|\mathcal C$ est une homographie.
Donc, pour tous $A,B,C\in\Pi$, $[f(A),f(B),f(C),\infty_{\Pi}]=[g(A),g(B),g(C),g(\infty_{\Pi})]=[A,B,C,\infty_{\Pi}]$.
Bref, $f|\Pi$ conserve le rapport de section donc elle est affine pour la structure affine de $\Pi$ décrite ci-dessus.
En particulier, $f|\Pi$ est soit l'identité, soit une translation si elle n'a aucun point fixe, soit une homothétie si elle a un unique point fixe, sans oublier que $g$ fixe $\infty_{\Pi}$.

Les courbes de niveau de $f(M)\doteq {\rm birap}(MA,MB,MC,MD)$ sont les coniques passant par $A,B,C,D$. Et alors la fameuse structure affine vient de ce que le birapport conique, n'est rien d'autre qu'un birapport droitique, qui n'est rien d'autre que le birapport des paramètres. Encore une taupinière !

En fait, pour affiner ce résultat, qui est en fait un résultat projectif, on tue 0 ou 1 ou 2 points à l'infini. Et l'on se retrouve à gérer trois taupinières différentes. Quelle avancée !

Ps: Wrt $A,B,C$, les perspecteurs de ces coniques sont sur la tripolaire de $D$. Propriété utile s'il en est !

Mon cher Pierre
Comme tu le sais la géométrie projective a disparu.
Il ne nous reste que la géométrie affine sans doute très provisoirement
Il est quand même intéressant de voir avec les moyens du bord actuels qu'une parabole possède une structure de droite affine.
Je comprends parfaitement que ce n'est qu'une taupinière pour toi mais ce n'en est pas une pour ceux qui ne connaissent de la géométrie affine que l'Axiome de Thalès!
Amicalement
[small]p[/small]appus

"Comme tu le sais la géométrie projective a disparu"
Une carte graphique est un calculateur massivement parallèle pour faire de la géométrie projective.
Il ne semble pas que les cartes graphiques soient au bord de la disparition.

"ce n'est qu'une taupinière pour toi". Pas du tout. La géométrie dite affine n'est qu'une méthode pour transformer
n'importe quelle taupinière projective en une montagne. A cheval, cavalier! Gardons la perspective !

Rappel: résoudre en $x,y$ le système $ax+by+c=0 ; a'x+b'y+c'=0$ c'est déjà faire de la géométrie projective. C'est en tout cas ce que prétendent les formules de Cramer.

Cordialement, Pierre.

Bonsoir,

La fameuse correspondance affine entre une parabole $\Pi$ et une droite $d$, grâce à $[A,B;C]=[a,b;c]$.
Les segments rouges ont pour direction $\delta$, la direction asymptotique de $\Pi$.