Bonjour
Peut-être une autre idée.
Appelons $s'$ la similitude inverse de $s$ qui renvoie $E'$ sur $E$.
Elle est contractante puisque son rapport est $k=\sqrt{\dfrac{Aire(E)}{Aire(E')}}<1$
Soit $O$ le centre de $s'$ qui est aussi celui de $s$
Alors on sait que $O$ est la limite de la suite $\{n\mapsto s'^n(M)\}$ où $M$ est un point quelconque du plan.
En prenant un point $M\in E'$, on sait que $s'(M) \in E$ et cette suite est donc contenue dans $E$ pour $n\ge 1$.
Sa limite $O$ appartient donc à $E$.
Amicalement
pappus
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par pappus.