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Mais où est le centre ?

Envoyé par pourexemple 
Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Soient [édit3]2 ellipses 2 surfaces finies (délimitées par 2 éllipses)[\édit3] $ E \text{ et } E'$ tel qu'il existe une similitude $s$ qui transforme $E$ en $E'$, avec $E \subset E'$.
Est-ce que le centre de $s$ est dans $E$ ou dans $E'$ ?

Bonne journée.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
Bonjour
Si $E\subset E'$, alors $E=E'$, $s$ conserve donc le centre de $E$ qui est alors le point fixe de $s$.
Amicalement
pappus
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
$E \text{ et } E'$ est une surface finie délimitée par une éllipse, donc on a pas forcément $E=E'$.


Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
Mon cher pourexemple
Il fallait être plus clair dans ta définition d'une ellipse.
Il n' a que toi à utiliser cette définition.
Amicalement
pappus
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
J'ai rectifié l'énoncé, en espèrant que maintenant cela soit plus clair.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
Bonjour
Il y a un cas particulier simple intéressant où on peut sans doute (?) répondre de suite.
C'est celui où $E$ et donc $E'$ sont des cercles.
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pappus.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
Bonjour
Peut-être une autre idée.
Appelons $s'$ la similitude inverse de $s$ qui renvoie $E'$ sur $E$.
Elle est contractante puisque son rapport est $k=\sqrt{\dfrac{Aire(E)}{Aire(E')}}<1$
Soit $O$ le centre de $s'$ qui est aussi celui de $s$
Alors on sait que $O$ est la limite de la suite $\{n\mapsto s'^n(M)\}$ où $M$ est un point quelconque du plan.
En prenant un point $M\in E'$, on sait que $s'(M) \in E$ et cette suite est donc contenue dans $E$ pour $n\ge 1$.
Sa limite $O$ appartient donc à $E$.
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
Bravo, mais c'est une réponse topologique (la seule que je connaisse), connaîtrais-tu une réponse géométrique ?

PS : à noter qu'avec le théorème de point fixe de Brouwer on n'a même pas besoin de contraction.

Que penses-tu de cette énoncé énigme, facile ou difficile ?



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
Bonjour
Je pense surtout qu'énoncé est du genre masculin!
Amicalement
pappus
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
Si deux similitudes $A$ et $B$ transforment une figure F en G alors $B^{-1}\circ A$ est une isométrie qui transforme F en elle-même.
On obtient donc toutes les similitudes qui transforment F en G en composant une isométrie (F$\rightarrow$F) avec $A$.
Si F est une ellipse il y a quatre isométries (F$\rightarrow$F).

Dans le cas des ellipses inscrites sans artifice dans mes rectangles les points marqués sont les points fixes de quatre similitudes transformant l'une en l'autre.


Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
Mon cher pourexemple
Pourquoi invoquer le théorème de Brouwer alors que l'existence du point fixe est supposée dans ton énoncé et pourquoi pas le grand théorème de Picard ou le théorème de Fermat pendant que tu y es!
Quant à la difficulté de cet exercice, ce n'est pas à moi de la juger.
Mais à une époque où les similitudes ont disparu de notre culture et où l'enseignement des coniques se limite à leur classification, je pense que l'énoncé de ton exercice doit être du chinois ou de l'hébreu pour la plupart de nos étudiants!
Amicalement
pappus
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
@Pappus : Tu n'y es pas, ce n'est pas pour prouver l'existence d'un point fixe mais pour le localiser, et ici tu as utilisé le théorème de point fixe de Picard (des fonctions contractantes).

@Soland : j'avoue ne pas avoir compris ta solution.

Bonne journée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
J'ai passé à côté de l'hypothèse $E\subset E'$
Navré.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
Je reviens sur la question.

Soit $S: z\mapsto z'$ une similitude de point fixe $c$, de rapport $<1$ et $E$ une ellipse.
Supposons $c\notin E$ et soit $p$ le point de $E$ le plus proche de $c$ ($E$ est fermée et bornée).

Alors $|p'c'|=|p'c|<|pc|$

Donc $p'$ est un point de $E'$ hors de $E$.
Re: Mais où est le centre ?
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

@Soland : Bravo, c'est déjà moins topologique, mais cela n'est toujours pas géométrique.

Bonne soirée.
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