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Curiosité pythagoricienne

Envoyé par FrançoisD 
Curiosité pythagoricienne
il y a trois années
avatar
Bonjour,
saurez-vous démontrer que, dans un repère orthonormé d'origine O, A, B, C étant chacun sur un axe, on a:

OAB²+OAC²+OBC²=ABC²

(OAB désignant l'aire du triangle OAB etc.)

La généralisation à la dimension n m'échappe toutefois :-/

Bon WE

amicalement,

F.D.

PS: je l'ai réussi pour les curieux qui connaissent mes lacunes en géométrie
ev
Re: Curiosité pythagoricienne
il y a trois années
avatar
Bonsoir François.

Ici ?

amicalement,

e.v.
Re: Curiosité pythagoricienne
il y a trois années
avatar
Bonjour,

L'aire d'un triangle se calcule aussi par un produit vectoriel... et le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul... on a donc $AB \wedge BC = (AO+OB) \wedge (BO+OC) = AO \wedge BO + AO \wedge OC + OB \wedge OC$ puis en passant au carré (tous les doubles produits s'annulent) $(AB \wedge BC)^2 = (AO \wedge BO)^2 + (AO \wedge OC)^2 + (OB \wedge OC)^2$ : c'est la relation demandée.

Avec cette méthode, tu peux écrire une généralisation à $n$ dimensions...
Re: Curiosité pythagoricienne
il y a trois années
avatar
Joli et très joli,

merci

F.D.
Re: Curiosité pythagoricienne
il y a trois années
Pythagore canal historique a une preuve "très douce" qui est la suivante: les longueurs des côtés mises au carré sont proportionnelles aux aires pour le groupe des 3 triangles ABC, AHB, AHC où H est la projection orthogonale de A sur [BC] (car ils sont tous "de la même forme").

A-t-on quelque chose de similaire ici?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Curiosité pythagoricienne
il y a trois années
RE

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