Curiosité pythagoricienne

Bonjour,

L'aire d'un triangle se calcule aussi par un produit vectoriel... et le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul... on a donc $AB \wedge BC = (AO+OB) \wedge (BO+OC) = AO \wedge BO + AO \wedge OC + OB \wedge OC$ puis en passant au carré (tous les doubles produits s'annulent) $(AB \wedge BC)^2 = (AO \wedge BO)^2 + (AO \wedge OC)^2 + (OB \wedge OC)^2$ : c'est la relation demandée.

Avec cette méthode, tu peux écrire une généralisation à $n$ dimensions...

Pythagore canal historique a une preuve "très douce" qui est la suivante: les longueurs des côtés mises au carré sont proportionnelles aux aires pour le groupe des 3 triangles ABC, AHB, AHC où H est la projection orthogonale de A sur [BC] (car ils sont tous "de la même forme").

A-t-on quelque chose de similaire ici?