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Infinité de triangles vérifiant une propriété

Envoyé par geoqui 
Infinité de triangles vérifiant une propriété
20 fvrier 2017, 11:58
Bonjour à tous,
Avec les notations classiques, existe-t-il une infinité de triangles scalènes non similaires l'un avec l'autre tels que les longueurs $AB$, $BC$, $CA$ et $OI$ sont des entiers naturels ?
Merci à vous,
Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/02/2017 13:25 par JLT.
Re: Infinité de triangle une propritété
20 fvrier 2017, 12:20
Bonjour
Passionnant le calcul de $OI^2$!!
Une fraction rationnelle plus ou moins compliquée en $(a,b,c)$ et que dire de l'arithmétique qu'il faut se farcir ensuite?
Amicalement
pappus
Re: Infinité de triangle une propritété
20 fvrier 2017, 12:47
Bonjour
On a $OI=\sqrt{R\left( R-2r\right) }$ mais cela ne simplifie en rien le problème.
Avant de se demander s'il existe une infinité de triangles scalènes non semblables tels que les longueurs $AB, BC, CA$ et $OI$ soient des entiers naturels, on peut vérifier que, pour un triangle de longueurs de côtés $16,49,55$, on a $OI=21$. Cordialement. Poulbot



Modifié 2 fois. Dernière modification le 20/02/2017 18:48 par poulbot.
Re: Infinité de triangle une propritété
20 fvrier 2017, 12:55
avatar
Similaires ?
Jean-Claude Herz donnait « similogue » comme synonyme de « analaire ».
Et peut-être traduire l'intitulé de charabia en français, comme « Infinité de triangles vérifiant une propriété ». Merci.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/02/2017 12:58 par Chaurien.
Re: Infinité de triangle une propritété
20 fvrier 2017, 13:24
Bonjour,

il suffirait de se placer dans l'ensemble des triangles rectangles héroniens pour conclure positivement .

Bien cordialement.

kolotoko
Infinité de triangles vérifiant une propriété
20 fvrier 2017, 14:02
Bonjour kolokoto
Je pensais que geoqui avait exclu implicitement les triangles rectangles.
En outre, tous les triangles rectangles à côtés entiers sont héroniens.
Cordialement. Poulbot



Modifié 2 fois. Dernière modification le 20/02/2017 14:04 par poulbot.
Infinité de triangles vérifiant une propriété
20 fvrier 2017, 18:47
Re-bonjour kolokoto
"Il suffirait de se placer dans l'ensemble des triangles rectangles héroniens pour conclure positivement"
Connais-tu un triangle rectangle à côtés entiers pour lequel $OI$ est également entier?
Cordialement. Poulbot
Re: Infinité de triangles vérifiant une
20 fvrier 2017, 20:34
Bonsoir,
assez rebutant initialement, je trouve ce problème finalement assez sympa.
En notant $a':=b+c-a$ et circ. on arrive à:
$a'+b'+c'=a+b+c$ et $(a+b+c)\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$ et donc aussi $(a'+b'+c')\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$.
Pour que $OI$ soit entier, il faut déjà que $OI^2$ le soit et que donc $a'b'c'$ divise $a^2b^2c^2$.
Par ailleurs, puisqu'on suppose $(a,b,c)=1$, $(a,b)$ (et circ.) divise $OI^2$, donc $(a,b)(b,c)(c,a)$ divise $OI^2$.
Dans le joli exemple de Poulbot (comment l'as-tu trouvé?), $(a,b)(b,c)(c,a)=1$.
Rien d'autre à dire ce soir!
Amicalement
Paul
Re: Infinité de triangles vérifiant une propriété
20 fvrier 2017, 21:20
Bonjour,


non à la question posée.

Je me suis avancé un peu vite.

Bien cordialement.

kolotoko
Re: Infinité de triangles vérifiant une propriété
26 fvrier 2017, 19:05
Bonjour ,

ce triangle (y en a t'il d'autres? et comment a t'il été trouvé ?) a d'autres spécificités intéressantes . Par exemple $\widehat {OIC}=150°$

Cordialement


Re: Infinité de triangles vérifiant une propriété
01 mars 2017, 09:32
Autres particularités du triangle de geoqui


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