Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
57 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Infinité de triangles vérifiant une propriété

Envoyé par geoqui 
Infinité de triangles vérifiant une propriété
il y a deux années
Bonjour à tous,
Avec les notations classiques, existe-t-il une infinité de triangles scalènes non similaires l'un avec l'autre tels que les longueurs $AB$, $BC$, $CA$ et $OI$ sont des entiers naturels ?
Merci à vous,
Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par JLT.
Re: Infinité de triangle une propritété
il y a deux années
Bonjour
Passionnant le calcul de $OI^2$!!
Une fraction rationnelle plus ou moins compliquée en $(a,b,c)$ et que dire de l'arithmétique qu'il faut se farcir ensuite?
Amicalement
pappus
Re: Infinité de triangle une propritété
il y a deux années
Bonjour
On a $OI=\sqrt{R\left( R-2r\right) }$ mais cela ne simplifie en rien le problème.
Avant de se demander s'il existe une infinité de triangles scalènes non semblables tels que les longueurs $AB, BC, CA$ et $OI$ soient des entiers naturels, on peut vérifier que, pour un triangle de longueurs de côtés $16,49,55$, on a $OI=21$. Cordialement. Poulbot



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par poulbot.
Re: Infinité de triangle une propritété
il y a deux années
Similaires ?
Jean-Claude Herz donnait « similogue » comme synonyme de « analaire ».
Et peut-être traduire l'intitulé de charabia en français, comme « Infinité de triangles vérifiant une propriété ». Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Chaurien.
Re: Infinité de triangle une propritété
il y a deux années
Bonjour,

il suffirait de se placer dans l'ensemble des triangles rectangles héroniens pour conclure positivement .

Bien cordialement.

kolotoko
Infinité de triangles vérifiant une propriété
il y a deux années
Bonjour kolokoto
Je pensais que geoqui avait exclu implicitement les triangles rectangles.
En outre, tous les triangles rectangles à côtés entiers sont héroniens.
Cordialement. Poulbot



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par poulbot.
Infinité de triangles vérifiant une propriété
il y a deux années
Re-bonjour kolokoto
"Il suffirait de se placer dans l'ensemble des triangles rectangles héroniens pour conclure positivement"
Connais-tu un triangle rectangle à côtés entiers pour lequel $OI$ est également entier?
Cordialement. Poulbot
Re: Infinité de triangles vérifiant une
il y a deux années
Bonsoir,
assez rebutant initialement, je trouve ce problème finalement assez sympa.
En notant $a':=b+c-a$ et circ. on arrive à:
$a'+b'+c'=a+b+c$ et $(a+b+c)\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$ et donc aussi $(a'+b'+c')\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$.
Pour que $OI$ soit entier, il faut déjà que $OI^2$ le soit et que donc $a'b'c'$ divise $a^2b^2c^2$.
Par ailleurs, puisqu'on suppose $(a,b,c)=1$, $(a,b)$ (et circ.) divise $OI^2$, donc $(a,b)(b,c)(c,a)$ divise $OI^2$.
Dans le joli exemple de Poulbot (comment l'as-tu trouvé?), $(a,b)(b,c)(c,a)=1$.
Rien d'autre à dire ce soir!
Amicalement
Paul
Re: Infinité de triangles vérifiant une propriété
il y a deux années
Bonjour,


non à la question posée.

Je me suis avancé un peu vite.

Bien cordialement.

kolotoko
Re: Infinité de triangles vérifiant une propriété
il y a deux années
Bonjour ,

ce triangle (y en a t'il d'autres? et comment a t'il été trouvé ?) a d'autres spécificités intéressantes . Par exemple $\widehat {OIC}=150°$

Cordialement


Re: Infinité de triangles vérifiant une propriété
il y a deux années
Autres particularités du triangle de geoqui


Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 137 942, Messages: 1 337 849, Utilisateurs: 24 646.
Notre dernier utilisateur inscrit inconnu25545.


Ce forum
Discussions: 8 123, Messages: 93 033.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page