Infinité de triangles vérifiant une propriété

Bonjour
Passionnant le calcul de $OI^2$!!
Une fraction rationnelle plus ou moins compliquée en $(a,b,c)$ et que dire de l'arithmétique qu'il faut se farcir ensuite?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Similaires ?
Jean-Claude Herz donnait « similogue » comme synonyme de « analaire ».
Et peut-être traduire l'intitulé de charabia en français, comme « Infinité de triangles vérifiant une propriété ». Merci.

Bonjour kolokoto
Je pensais que geoqui avait exclu implicitement les triangles rectangles.
En outre, tous les triangles rectangles à côtés entiers sont héroniens.
Cordialement. Poulbot

Bonsoir,
assez rebutant initialement, je trouve ce problème finalement assez sympa.
En notant $a':=b+c-a$ et circ. on arrive à:
$a'+b'+c'=a+b+c$ et $(a+b+c)\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$ et donc aussi $(a'+b'+c')\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$.
Pour que $OI$ soit entier, il faut déjà que $OI^2$ le soit et que donc $a'b'c'$ divise $a^2b^2c^2$.
Par ailleurs, puisqu'on suppose $(a,b,c)=1$, $(a,b)$ (et circ.) divise $OI^2$, donc $(a,b)(b,c)(c,a)$ divise $OI^2$.
Dans le joli exemple de Poulbot (comment l'as-tu trouvé?), $(a,b)(b,c)(c,a)=1$.
Rien d'autre à dire ce soir!
Amicalement
Paul

Bonjour ,

ce triangle (y en a t'il d'autres? et comment a t'il été trouvé ?) a d'autres spécificités intéressantes . Par exemple $\widehat {OIC}=150°$

Cordialement