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Géométrie et Complexes

Envoyé par gebrane 
Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 00:03
avatar
Bonjour,

C'est une question qui n'a pas eu un grand succès au Forum d'analyse. Chercher les complexes $z$ verifiant
$$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$
avec $\operatorname{Arg}$ qui désigne l'argument principal qui vit dans $\left]-\pi,\pi\right]$

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/02/2017 08:08 par Philippe Malot.
Utilisateur anonyme
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 00:32
bah, il me semblait avoir répondu à la question via le post ici confused smiley ...
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 00:38
avatar
Bah non!
$Arg(z)-Arg(w)\neq Arg(\frac z w)$ sauf si je n'ai pas compris le fond de ton idée

Signature: Je suis de passage .
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 08:14
avatar
Salut gebrane0,
L'égalité n'est certes pas toujours vraie avec les arguments principaux, en revanche elle l'est modulo $2\pi$, donc on a bien l'existence d'un nombre réel strictement positif $\rho$ tel que $\dfrac{z-2}{z+2}=\rho e^{i\frac \pi 6}$, comme l'a écrit ezmaths.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 08:26
avatar
Bonjour @gebrane0,

Voici une méthode, on doit pouvoir faire plus simple :
- on écrit $\displaystyle z=x+iy$ pour $x,y$ réels
- on écrit $\displaystyle Arg(x+iy) = \arctan{y \over x} \pm \pi$ selon $x$ et $y$...
- on écrit $\displaystyle \arctan x - \arctan y = \arctan {x-y \over 1+xy}$ pour $\displaystyle xy >-1$, $\displaystyle \arctan x - \arctan y =\pi+ \arctan {x-y \over 1+xy}$ pour $\displaystyle x>0, xy <-1$, $\displaystyle \arctan x - \arctan y =-\pi+ \arctan {x-y \over 1+xy}$ pour $\displaystyle x<0, xy <-1$
- on traite tous les cas...
- on révise l'équation des cercles...
- on fait un joli dessin...
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 08:37
Bof. L'ensemble solution en rouge (c'est bien l'arc capable). $\mathrm{Arg}(z-2)$ varie de $\pi/6$ à $\pi$ sur cet arc capable.


Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 09:27
Bonjour.

Une autre façon de dire la même chose. En premier lieu, en utilisant $arg$, on a $\dfrac{z-2}{z+2}= k \exp {i\frac \pi 6}$, pour $k \in \R \cup { \infty}$. Le lieu des $z$ ayant cette propriété est l'image du lieu des k par une homographie: c'est le cercle capable de l'angle de droites. En second lieu, introduire $Arg$ introduit des coupures dans le plan complexe. Avec la formule que j'ai donnée, on a une coupure à gauche de $+2$ (qui contient la coupure à gauche de $-2$). Le cercle capable est donc décomposé en deux ouverts connexes et deux points de coupure. Et la fonction à étudier est constante sur chacun des morceaux. étant discrète et continue. Il reste à choisir les morceaux qui vont bien: on regarde si une figure n'aurait pas déjà été faite... eh bien si, justement.


Cordialement, Pierre.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 10:26
@pldx : tu as l'air de penser que l'argument de $-\exp(i\pi/6)$ est $\pi/6$ ??? Il y a confusion entre la coupure introduite par l'argument principal et la différence angle orienté / angle orienté de droites.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/02/2017 10:26 par GaBuZoMeu.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 17:28
GaBuZoMeu écrivait:
@pldx : tu as l'air de penser que l'argument de $-\exp(i\pi/6)$ est $\pi/6$ ???

J'ai l'air de penser que $\left(\exists \rho >0 \right) \left( \dfrac{z-2}{z+2}=\rho \exp{i\frac \pi 6}\right) \implies
\left(\exists k \in \R \cup \left\{\infty\right\} \right) \left( \dfrac{z-2}{z+2}=k \exp{i\frac \pi 6}\right) $.

Aurais-tu un contre-exemple à proposer ?

Cordialement, Pierre.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 17:59
Bon, si tu trouves qu'il n'y a absolument aucune ambiguïté dans ce que tu écris, tout est pour le mieux.
Simplement, le passage de la "coupure" occasionne un saut de $2\pi$, tandis que le passage d'un arc capable à l'autre arc capable du même cercle occasionne un saut de $\pi$. Mais puisque tu dis qu'il n'y a pas de problème, c'est sûrement qu'il n'y en a pas.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 21:09
avatar
Bonjour @gebrane0,

Cet exercice peut devenir très pénible si on ne l'attaque pas du bon côté. Voici une méthode assez élégante, mais on peut peut-être faire encore mieux.

On cherche donc à résoudre dans $\displaystyle \C$, $\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = {\pi \over 6}$ où l'argument est principal, c'est-à-dire dans $\displaystyle ]-\pi, \pi].$

L'argument du nombre complexe $z$ n'est pas défini pour $\displaystyle z=0.$ On en déduit que $\displaystyle z-2 \neq 2, z+2 \neq 2.$ Dans la suite, $\displaystyle z \neq-2, z \neq 2.$

Pour tous $\displaystyle z,w$, deux nombres complexes non nuls, $\displaystyle Arg(z)-Arg(w) = Arg{z \over w}$ modulo $2\pi.$ On en déduit $\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over z+2}.$

Pour tout $z$ complexe non réel négatif, $\displaystyle Arg(z) = 2 \arctan {\Im(z) \over \Re(z) + |z|}$ ; si $z$ est un réel négatif, $\displaystyle Arg(z) = \pi.$

On pose alors, avec $\displaystyle x,y$ deux nombres réels, $\displaystyle z=x+iy$ et on calcule $\displaystyle {z-2 \over z+2} = {x^2-4+y^2 + i 4y \over (x+2)^2 + y^2}.$

On a donc tous les éléments pour trouver l'ensemble solution.

On a $\displaystyle {z-2 \over z+2}$ réel négatif si et seulement si $\displaystyle y=0$ et $\displaystyle x^2-4+y^2 <0$, si et seulement si $\displaystyle y=0$, $|x| <2.$ Le segment ouvert $\displaystyle ]-2,2[$ est donc exclu. Comme $\displaystyle z=-2, z=2$ sont exlcus, alors le segment fermé $\displaystyle [-2, 2]$ est exclu.

Pour $\displaystyle y\neq 0$, on a donc $\displaystyle {\pi \over 6} = 2 \arctan {4y \over x^2-4+y^2 + \sqrt{(x^2-4+y^2)^2+ (4y)^2}}.$ Comme on sait que, pour tout $u$ réel, $\displaystyle \tan(\arctan(u)) = u$ et $\displaystyle \tan {\pi \over 12} = 2-\sqrt{3}$, alors on a : $\displaystyle {4y \over x^2-4+y^2 + \sqrt{(x^2-4+y^2)^2+ (4y)^2}} = 2-\sqrt{3}.$

On isole la racine carrée d'un côté de l'égalité, on élève au carré, on simplifie par $\displaystyle 8y$, et on reconnaît l'équation d'un cercle : $\displaystyle x^2 + (y-2\sqrt{3})^2 = 4^2.$ C'est le cercle de centre $\displaystyle (0, 2\sqrt{3})$ et de rayon $\displaystyle 4.$

La réciproque n'est pas difficile : il faut exclure $\displaystyle y<0$ car la racine carrée est positive.

Conclusion : l'ensemble solution est l'arc de cercle de centre $\displaystyle (0, 2\sqrt{3})$ et de rayon $4$ situé à l'intérieur du demi-plan supérieur $\displaystyle y>0.$ Dans un message plus haut, @GaBuZoMeu a dessiné cet ensemble.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/02/2017 23:18 par YvesM.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 21:15
avatar
Bonsoir,

En utilisant le théorème de géométrie qui dit : $c\in\mathbb R$ $A,B$ points du plan.
L'ensemble des points M du plan tel que l'angle $(AM,BM)=c$ est la réunion de 2 arcs de cercles, alors la solution prend une ligne.

Bilan : rien ne sert de courir il faut partir à point.

Bonne journée.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 28/02/2017 04:36 par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 21:21
avatar
Bonjour @pourexemple,

Ecris s'il te plaît, et si tu en es capable, une démonstration complète à partir de ton théorème. Je veux bien compter les lignes. Aussi, il est facile de trouver cet argument quand on a vu la solution - ce qui n'enlève rien à l'élégance de la solution.

Mais relève mon défi pour voir... winking smiley
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 21:29
avatar
Alors rien que pour toi Yves... grinning smiley

L'ensemble des points M du plan tel que l'angle $(AM,BM)=c$ est la réunion de 2 arcs de cercles, ici $A=(2,0) \text{ et } B=(-2,0)$ et $c=\frac{\pi}{6}$.

Bonne soirée.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 28/02/2017 04:34 par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 21:33
avatar
Bonjour,

Je te note $0/5$ à cet exercice. Tu n'as pas donné l'ensemble solution. Tu écris : "est un arc de cercle", moi j'en connais beaucoup des arcs de cercles. Tu dois définir lequel ou lesquels et le justifier.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 21:39
avatar
Citation Yves :
Je te note 0/5 à cet exercice.

Cela me va, en effet il ne me manque que 5 points pour avoir une note excellente... grinning smiley

Bilan : rien ne sert de courir il faut partir à point.

Bonne soirée.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 21:52
avatar
@Yves : ce n'est pas mon théorème mais un résultat que l'on voyait en géométrie en classe de secondes, après peut-être as-tu oublié tes classiques.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 22:00
avatar
Bonjour @pourexemple,

La solution que tu proposes est élégante, mais ce qui m'intéresse c'est une démonstration... que tu n'es d'ailleurs pas capable d'écrire... d'où mon gentil défi que tu n'as pas relevé. C'est ton droit. Mais j'ai le droit de conclure que cette solution est bien moins commonde à écrire que tu ne le penses.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:00
avatar
Bonsoir à tous
Merci pour vos réponses, j’étais indisponible pendant toute la journée
Bonjour Cher YvesM
Citation
YvesM &eacute;crivait:
Pour tous $\displaystyle z,w$, deux nombres
complexes non nuls, $\displaystyle Arg(z)-Arg(w) =
Arg{z \over w}.$ On en déduit $\displaystyle
Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over z+2}.$

z=-i et w=-1 constituent un contre exemple à cette affirmation

@Gabu merci pour tes solutions dessinées
Dans cette reference [math.stackexchange.com], je vois un ensemble de solution autre

Signature: Je suis de passage .
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:17
avatar
Bonjour @gebrane0,

J'ai oublié d'écrire explicitement que c'est modulo $2\pi$... je pensais que c'était évident qu'on travaille module $2\pi$, mais c'est mieux en l'écrivant. Donc ma démonstration reste valide... j'ajoute le modulo $2\pi$.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:21
Quel ensemble de solutions autre ?
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:22
avatar
Bonjour, YvesM
Que signifie pour toi $Arg(Z_1)=Arg(Z_2)$ modulo $2\pi$?

Signature: Je suis de passage .
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:24
avatar
@Gabu
Celui -là $S=\left\{z=2\sqrt{3}i+4e^{it}\>\biggm|\>-{\pi\over3}<t<{4\pi\over3}\right\}\ .$
Est-ce le même que le vôtre?

edit mon anglais est assez faible, peuttre j'ai compris de travers

Signature: Je suis de passage .



Modifié 2 fois. Dernière modification le 28/02/2017 04:31 par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:33
grinning smiley Exercice de géométrie élémentaire que je te laisse.
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:34
avatar
merci Gabu c'est rassurant, je vais m y mettre

Signature: Je suis de passage .
Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:42
Pour t'aider : j'ajoute un triangle équilatéral au dessin. Consigne : expliquer le rôle de ce triangle.


Re: Géométrie et Complexes
27 fvrier 2017, 23:57
avatar
Bonjour @gebrane0,

Modulo $2\pi$ signifie la même chose pour moi que pour toi. $Arg(z) = Arg(w)$ modulo $2\pi$ signifie que l'égalité est vérifiée même si la différence (positive) vaut $2\pi$, par exemple : $-{\pi \over 2} = {3\pi \over 2}$ modulo $2\pi$ ou encore $-{2\pi \over 3} = {4\pi \over 3}$ modulo $2\pi.$

La fonction $z \in \C^* \mapsto Arg(z) \in ]-\pi, \pi]$ est définie modulo $2\pi.$
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 00:08
avatar
@Gabu
Je t'ai posé la question car avant j'ai eu ce dessin pas très parlant
@YvesM
je vais regarder tout ça

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 10:00 par jacquot.


Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 00:56
avatar
bonjour

posons
$a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$

alors l'ensemble des $z$ recherchés vérifient $z=p.e^{i.\theta}$

en trouvant les deux inconnues $\theta $ dans R et p dans R*+

des deux équations équations suivantes

en prenant un $\varphi $ quelconque de R

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

où ici $q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 02:53
avatar
Bonsoir,

Voilà, moi aussi j'ai un dessin à proposer, je l'ai appelé la vraie solution.... grinning smiley

Bonne soirée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 02:56 par pourexemple.


Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 02:56
avatar
un exemple vérifiant mes deux équations

j'ai pris $\varphi =\frac {5\pi }{12}$ donc avec $a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$

on verifie avec $\theta =\frac {\pi }{2}$ et $p =2.cotan\frac {\pi}{12}$

alors $z=i.2.cotan\frac {\pi}{12}$ est une solution qui vérifie

$Arg(z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi}{6} $ car elle vérifie

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

où ici $q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 07:10
avatar
Bonjour Gabu
À tête reposée, je vois!
L’équation paramétrique dans le plan d'un cercle de centre (a,b) et de rayon r>0 est
$$x=a+rcos {\theta},\quad y=b+rsin{\theta}$$ Après il suffit d'ecrire $$x+iy=a+ib+re^{i\theta}$$
donc $S=\left\{z=2\sqrt{3}i+4e^{it}\>\biggm|\>-{\pi\over3}<t<{4\pi\over3}\right\}\ $ est l’équation d'un arc de cercle de centre $(0,2\sqrt 3)$ et de rayon 4 où l'angle varie entre $-\frac \pi 3$ et$\frac{4\pi} 3$ et c'est bien ton dessin.
Merci à tous.
edit des corrections

Signature: Je suis de passage .



Modifié 4 fois. Dernière modification le 28/02/2017 07:23 par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 07:30
avatar
Gebrane0

....tu as vu mes deux équations ?

Tout z qui appartient à l'ensemble que tu recherches les vérifie.

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 07:31 par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 07:37
Bonjour
La vraie solution, c'est un peu comme le Vrai Dieu, on ne va pas se trucider pour si peu!
Amicalement
pappus
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 07:55
avatar
Oui je te lis

fluorhydrique &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------

> alors l'ensemble des $z$ recherchés vérifient
> $z=p.e^{i.\theta}$
c'est faux, car ton équation est celle d'un cercle de centre (0,0)

Signature: Je suis de passage .
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 08:03
avatar
l'ensemble des z que tu recherche sont des nombres complexes non nuls donc ils s'écrivent $p.e ^{i.\theta}$

de plus je t'ai donné un exemple d'un complexe z qui vérifié à la fois $Arg (z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi }{6}$

et à la fois mes deux équations

mais lis tu ce qu'on écrit au moins ?

$\varphi =\frac {5\pi }{12}$ donc avec $a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$

on verifie avec $\theta =\frac {\pi }{2}$ et $p =2.cotan\frac {\pi}{12}$

alors $z=i.2.cotan\frac {\pi}{12}$ est une solution qui vérifie

$Arg(z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi}{6} $ car elle vérifie

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

où ici $q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 09:12
Ce fil est vraiment une accumulation de n'importe quoi !
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 09:16
avatar
Citation

GaBuZoMeu
> Ce fil est vraiment une accumulation de n'importe quoi!

ah oui?

alors explique moi pourquoi

$z=i.2.cotan\frac {\pi}{12}$ est une solution qui vérifie

$Arg(z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi}{6} $ mais aussi

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

avec $\varphi =\frac {5\pi }{12}$ et $a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$ et

$q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

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Modifié 3 fois. Dernière modification le 28/02/2017 09:20 par fluorhydrique.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 09:32
avatar
Bonjour fluorhydrique,
La solution que tu mentionnes apparaît clairement sur le dessin de GBZM au milieu de son arc de cercle.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 09:35 par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 09:37
avatar
Bonjour Jacquot

La solution que j'ai donnée est juste une solution parmi d'autres.

Ce que j'ai dit est que tout z qui vérifie mes deux équations est une solution .

Mais comme Gebrane ne me croyait pas je lui ai donné un z parmi d'autres pour lequel il peut vérifier s'il fonctionne.

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 09:38 par fluorhydrique.
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