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Géométrie et Complexes

Envoyé par gebrane 
Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour,

C'est une question qui n'a pas eu un grand succès au Forum d'analyse. Chercher les complexes $z$ verifiant
$$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$
avec $\operatorname{Arg}$ qui désigne l'argument principal qui vit dans $\left]-\pi,\pi\right]$

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Philippe Malot.
Utilisateur anonyme
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
bah, il me semblait avoir répondu à la question via le post ici confused smiley ...
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bah non!
$Arg(z)-Arg(w)\neq Arg(\frac z w)$ sauf si je n'ai pas compris le fond de ton idée

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Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Salut gebrane0,
L'égalité n'est certes pas toujours vraie avec les arguments principaux, en revanche elle l'est modulo $2\pi$, donc on a bien l'existence d'un nombre réel strictement positif $\rho$ tel que $\dfrac{z-2}{z+2}=\rho e^{i\frac \pi 6}$, comme l'a écrit ezmaths.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @gebrane0,

Voici une méthode, on doit pouvoir faire plus simple :
- on écrit $\displaystyle z=x+iy$ pour $x,y$ réels
- on écrit $\displaystyle Arg(x+iy) = \arctan{y \over x} \pm \pi$ selon $x$ et $y$...
- on écrit $\displaystyle \arctan x - \arctan y = \arctan {x-y \over 1+xy}$ pour $\displaystyle xy >-1$, $\displaystyle \arctan x - \arctan y =\pi+ \arctan {x-y \over 1+xy}$ pour $\displaystyle x>0, xy <-1$, $\displaystyle \arctan x - \arctan y =-\pi+ \arctan {x-y \over 1+xy}$ pour $\displaystyle x<0, xy <-1$
- on traite tous les cas...
- on révise l'équation des cercles...
- on fait un joli dessin...
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Bof. L'ensemble solution en rouge (c'est bien l'arc capable). $\mathrm{Arg}(z-2)$ varie de $\pi/6$ à $\pi$ sur cet arc capable.


Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Bonjour.

Une autre façon de dire la même chose. En premier lieu, en utilisant $arg$, on a $\dfrac{z-2}{z+2}= k \exp {i\frac \pi 6}$, pour $k \in \R \cup { \infty}$. Le lieu des $z$ ayant cette propriété est l'image du lieu des k par une homographie: c'est le cercle capable de l'angle de droites. En second lieu, introduire $Arg$ introduit des coupures dans le plan complexe. Avec la formule que j'ai donnée, on a une coupure à gauche de $+2$ (qui contient la coupure à gauche de $-2$). Le cercle capable est donc décomposé en deux ouverts connexes et deux points de coupure. Et la fonction à étudier est constante sur chacun des morceaux. étant discrète et continue. Il reste à choisir les morceaux qui vont bien: on regarde si une figure n'aurait pas déjà été faite... eh bien si, justement.


Cordialement, Pierre.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
@pldx : tu as l'air de penser que l'argument de $-\exp(i\pi/6)$ est $\pi/6$ ??? Il y a confusion entre la coupure introduite par l'argument principal et la différence angle orienté / angle orienté de droites.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GaBuZoMeu.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
GaBuZoMeu écrivait:
@pldx : tu as l'air de penser que l'argument de $-\exp(i\pi/6)$ est $\pi/6$ ???

J'ai l'air de penser que $\left(\exists \rho >0 \right) \left( \dfrac{z-2}{z+2}=\rho \exp{i\frac \pi 6}\right) \implies
\left(\exists k \in \R \cup \left\{\infty\right\} \right) \left( \dfrac{z-2}{z+2}=k \exp{i\frac \pi 6}\right) $.

Aurais-tu un contre-exemple à proposer ?

Cordialement, Pierre.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Bon, si tu trouves qu'il n'y a absolument aucune ambiguïté dans ce que tu écris, tout est pour le mieux.
Simplement, le passage de la "coupure" occasionne un saut de $2\pi$, tandis que le passage d'un arc capable à l'autre arc capable du même cercle occasionne un saut de $\pi$. Mais puisque tu dis qu'il n'y a pas de problème, c'est sûrement qu'il n'y en a pas.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @gebrane0,

Cet exercice peut devenir très pénible si on ne l'attaque pas du bon côté. Voici une méthode assez élégante, mais on peut peut-être faire encore mieux.

On cherche donc à résoudre dans $\displaystyle \C$, $\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = {\pi \over 6}$ où l'argument est principal, c'est-à-dire dans $\displaystyle ]-\pi, \pi].$

L'argument du nombre complexe $z$ n'est pas défini pour $\displaystyle z=0.$ On en déduit que $\displaystyle z-2 \neq 2, z+2 \neq 2.$ Dans la suite, $\displaystyle z \neq-2, z \neq 2.$

Pour tous $\displaystyle z,w$, deux nombres complexes non nuls, $\displaystyle Arg(z)-Arg(w) = Arg{z \over w}$ modulo $2\pi.$ On en déduit $\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over z+2}.$

Pour tout $z$ complexe non réel négatif, $\displaystyle Arg(z) = 2 \arctan {\Im(z) \over \Re(z) + |z|}$ ; si $z$ est un réel négatif, $\displaystyle Arg(z) = \pi.$

On pose alors, avec $\displaystyle x,y$ deux nombres réels, $\displaystyle z=x+iy$ et on calcule $\displaystyle {z-2 \over z+2} = {x^2-4+y^2 + i 4y \over (x+2)^2 + y^2}.$

On a donc tous les éléments pour trouver l'ensemble solution.

On a $\displaystyle {z-2 \over z+2}$ réel négatif si et seulement si $\displaystyle y=0$ et $\displaystyle x^2-4+y^2 <0$, si et seulement si $\displaystyle y=0$, $|x| <2.$ Le segment ouvert $\displaystyle ]-2,2[$ est donc exclu. Comme $\displaystyle z=-2, z=2$ sont exlcus, alors le segment fermé $\displaystyle [-2, 2]$ est exclu.

Pour $\displaystyle y\neq 0$, on a donc $\displaystyle {\pi \over 6} = 2 \arctan {4y \over x^2-4+y^2 + \sqrt{(x^2-4+y^2)^2+ (4y)^2}}.$ Comme on sait que, pour tout $u$ réel, $\displaystyle \tan(\arctan(u)) = u$ et $\displaystyle \tan {\pi \over 12} = 2-\sqrt{3}$, alors on a : $\displaystyle {4y \over x^2-4+y^2 + \sqrt{(x^2-4+y^2)^2+ (4y)^2}} = 2-\sqrt{3}.$

On isole la racine carrée d'un côté de l'égalité, on élève au carré, on simplifie par $\displaystyle 8y$, et on reconnaît l'équation d'un cercle : $\displaystyle x^2 + (y-2\sqrt{3})^2 = 4^2.$ C'est le cercle de centre $\displaystyle (0, 2\sqrt{3})$ et de rayon $\displaystyle 4.$

La réciproque n'est pas difficile : il faut exclure $\displaystyle y<0$ car la racine carrée est positive.

Conclusion : l'ensemble solution est l'arc de cercle de centre $\displaystyle (0, 2\sqrt{3})$ et de rayon $4$ situé à l'intérieur du demi-plan supérieur $\displaystyle y>0.$ Dans un message plus haut, @GaBuZoMeu a dessiné cet ensemble.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonsoir,

En utilisant le théorème de géométrie qui dit : $c\in\mathbb R$ $A,B$ points du plan.
L'ensemble des points M du plan tel que l'angle $(AM,BM)=c$ est la réunion de 2 arcs de cercles, alors la solution prend une ligne.

Bilan : rien ne sert de courir il faut partir à point.

Bonne journée.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @pourexemple,

Ecris s'il te plaît, et si tu en es capable, une démonstration complète à partir de ton théorème. Je veux bien compter les lignes. Aussi, il est facile de trouver cet argument quand on a vu la solution - ce qui n'enlève rien à l'élégance de la solution.

Mais relève mon défi pour voir... winking smiley
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Alors rien que pour toi Yves... grinning smiley

L'ensemble des points M du plan tel que l'angle $(AM,BM)=c$ est la réunion de 2 arcs de cercles, ici $A=(2,0) \text{ et } B=(-2,0)$ et $c=\frac{\pi}{6}$.

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour,

Je te note $0/5$ à cet exercice. Tu n'as pas donné l'ensemble solution. Tu écris : "est un arc de cercle", moi j'en connais beaucoup des arcs de cercles. Tu dois définir lequel ou lesquels et le justifier.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Citation Yves :
Je te note 0/5 à cet exercice.

Cela me va, en effet il ne me manque que 5 points pour avoir une note excellente... grinning smiley

Bilan : rien ne sert de courir il faut partir à point.

Bonne soirée.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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@Yves : ce n'est pas mon théorème mais un résultat que l'on voyait en géométrie en classe de secondes, après peut-être as-tu oublié tes classiques.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @pourexemple,

La solution que tu proposes est élégante, mais ce qui m'intéresse c'est une démonstration... que tu n'es d'ailleurs pas capable d'écrire... d'où mon gentil défi que tu n'as pas relevé. C'est ton droit. Mais j'ai le droit de conclure que cette solution est bien moins commonde à écrire que tu ne le penses.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonsoir à tous
Merci pour vos réponses, j’étais indisponible pendant toute la journée
Bonjour Cher YvesM
Citation
YvesM &eacute;crivait:
Pour tous $\displaystyle z,w$, deux nombres
complexes non nuls, $\displaystyle Arg(z)-Arg(w) =
Arg{z \over w}.$ On en déduit $\displaystyle
Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over z+2}.$

z=-i et w=-1 constituent un contre exemple à cette affirmation

@Gabu merci pour tes solutions dessinées
Dans cette reference [math.stackexchange.com], je vois un ensemble de solution autre

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Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @gebrane0,

J'ai oublié d'écrire explicitement que c'est modulo $2\pi$... je pensais que c'était évident qu'on travaille module $2\pi$, mais c'est mieux en l'écrivant. Donc ma démonstration reste valide... j'ajoute le modulo $2\pi$.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Quel ensemble de solutions autre ?
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour, YvesM
Que signifie pour toi $Arg(Z_1)=Arg(Z_2)$ modulo $2\pi$?

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Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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@Gabu
Celui -là $S=\left\{z=2\sqrt{3}i+4e^{it}\>\biggm|\>-{\pi\over3}<t<{4\pi\over3}\right\}\ .$
Est-ce le même que le vôtre?

edit mon anglais est assez faible, peuttre j'ai compris de travers

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Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
grinning smiley Exercice de géométrie élémentaire que je te laisse.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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merci Gabu c'est rassurant, je vais m y mettre

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Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Pour t'aider : j'ajoute un triangle équilatéral au dessin. Consigne : expliquer le rôle de ce triangle.


Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @gebrane0,

Modulo $2\pi$ signifie la même chose pour moi que pour toi. $Arg(z) = Arg(w)$ modulo $2\pi$ signifie que l'égalité est vérifiée même si la différence (positive) vaut $2\pi$, par exemple : $-{\pi \over 2} = {3\pi \over 2}$ modulo $2\pi$ ou encore $-{2\pi \over 3} = {4\pi \over 3}$ modulo $2\pi.$

La fonction $z \in \C^* \mapsto Arg(z) \in ]-\pi, \pi]$ est définie modulo $2\pi.$
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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@Gabu
Je t'ai posé la question car avant j'ai eu ce dessin pas très parlant
@YvesM
je vais regarder tout ça

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.


Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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bonjour

posons
$a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$

alors l'ensemble des $z$ recherchés vérifient $z=p.e^{i.\theta}$

en trouvant les deux inconnues $\theta $ dans R et p dans R*+

des deux équations équations suivantes

en prenant un $\varphi $ quelconque de R

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

où ici $q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonsoir,

Voilà, moi aussi j'ai un dessin à proposer, je l'ai appelé la vraie solution.... grinning smiley

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.


Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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un exemple vérifiant mes deux équations

j'ai pris $\varphi =\frac {5\pi }{12}$ donc avec $a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$

on verifie avec $\theta =\frac {\pi }{2}$ et $p =2.cotan\frac {\pi}{12}$

alors $z=i.2.cotan\frac {\pi}{12}$ est une solution qui vérifie

$Arg(z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi}{6} $ car elle vérifie

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

où ici $q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour Gabu
À tête reposée, je vois!
L’équation paramétrique dans le plan d'un cercle de centre (a,b) et de rayon r>0 est
$$x=a+rcos {\theta},\quad y=b+rsin{\theta}$$ Après il suffit d'ecrire $$x+iy=a+ib+re^{i\theta}$$
donc $S=\left\{z=2\sqrt{3}i+4e^{it}\>\biggm|\>-{\pi\over3}<t<{4\pi\over3}\right\}\ $ est l’équation d'un arc de cercle de centre $(0,2\sqrt 3)$ et de rayon 4 où l'angle varie entre $-\frac \pi 3$ et$\frac{4\pi} 3$ et c'est bien ton dessin.
Merci à tous.
edit des corrections

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Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Gebrane0

....tu as vu mes deux équations ?

Tout z qui appartient à l'ensemble que tu recherches les vérifie.

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Bonjour
La vraie solution, c'est un peu comme le Vrai Dieu, on ne va pas se trucider pour si peu!
Amicalement
pappus
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Oui je te lis

fluorhydrique &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------

> alors l'ensemble des $z$ recherchés vérifient
> $z=p.e^{i.\theta}$
c'est faux, car ton équation est celle d'un cercle de centre (0,0)

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Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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l'ensemble des z que tu recherche sont des nombres complexes non nuls donc ils s'écrivent $p.e ^{i.\theta}$

de plus je t'ai donné un exemple d'un complexe z qui vérifié à la fois $Arg (z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi }{6}$

et à la fois mes deux équations

mais lis tu ce qu'on écrit au moins ?

$\varphi =\frac {5\pi }{12}$ donc avec $a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$

on verifie avec $\theta =\frac {\pi }{2}$ et $p =2.cotan\frac {\pi}{12}$

alors $z=i.2.cotan\frac {\pi}{12}$ est une solution qui vérifie

$Arg(z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi}{6} $ car elle vérifie

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

où ici $q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Ce fil est vraiment une accumulation de n'importe quoi !
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Citation

GaBuZoMeu
> Ce fil est vraiment une accumulation de n'importe quoi!

ah oui?

alors explique moi pourquoi

$z=i.2.cotan\frac {\pi}{12}$ est une solution qui vérifie

$Arg(z-2)-Arg(z+2)=\frac {\pi}{6} $ mais aussi

Equation1 := $q^2cos(2\varphi)+r^2cos(2b+2\varphi)-2p^2cos(2\theta)-2a^2=0$
Equation 2 :=$q^2sin(2\varphi)+r^2sin(2b+2\varphi)-2p^2sin(2\theta)=0$

avec $\varphi =\frac {5\pi }{12}$ et $a=2$ et $b=\frac {\pi}{6}$ et

$q^2=p^2+a^2+2pa.cos(\theta)$ et $r^2=p^2+a^2-2pa.cos(\theta)$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour fluorhydrique,
La solution que tu mentionnes apparaît clairement sur le dessin de GBZM au milieu de son arc de cercle.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour Jacquot

La solution que j'ai donnée est juste une solution parmi d'autres.

Ce que j'ai dit est que tout z qui vérifie mes deux équations est une solution .

Mais comme Gebrane ne me croyait pas je lui ai donné un z parmi d'autres pour lequel il peut vérifier s'il fonctionne.

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Bonjour.

Prenons donc un autre exemple: On définit $\phi(M)=Arg(z-2-2*I)-Arg(z+2+2*I)-30°$. Bien entendu, $Arg$ veut dire $Arg$ et non pas $Arg$ modulo un truc ou un autre, qui serait noté $arg$.

Les courbes en vert, cyan, noir sont différents arcs capables d'un angle de vecteurs. Ils décrivent de combien l'observateur $Z$ tourne son regard pour passer de $A$ vers $B$. Le long de l'arc vert, $\phi(Z)$ est constant, et vaut -60°. Le long de l'arc cyan, $\phi(Z)$ est constant, et vaut -180° (exactement cela, et pas modulo un truc ou un autre). On retrouve le fait que le cercle noir+cyan est caractérisé par un angle de droites.

Le long de l'arc noir, cela est plus compliqué. En effet, cet arc rencontre les coupures, et donc $\phi$ n'est plus constant, mais constant par morceaux. En $C$, on a 0°. Puis, entre les coupures, on a -360° (exactement cela, et pas modulo un truc ou un autre). Et au delà, on retrouve 0° (exactement cela, et pas modulo un truc ou un autre).

Cordialement, Pierre.


Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
avatar
Bonjour @gebrane0,

Géométriquement.

Dans le plan cartésien on définit les points $\displaystyle A(-2,0)$ et $\displaystyle B(2,0).$ On construit le point $C$ tel que le triangle $\displaystyle ABC$ est équilatéral et $\displaystyle (CA, CB) = +{\pi \over 3}.$ On calcule alors $\displaystyle C(0, 2\sqrt{3}).$

On cherche le lieu des points $M$ du plan tels que $\displaystyle (MA, MB) =+{\pi \over 6}.$ Comme on a $\displaystyle (MA, MB) = \frac12 (CA, CB) $, alors le point $M$ décrit l'arc de cercle capable $AB$ - le cercle est centré en $C$ et le segment $[AB]$ en est une corde.

Quel rapport avec la choucroute ?

Dans le plan complexe associé à ce plan cartésien : $\displaystyle z = x+iy \in \C$ avec $\displaystyle (x,y) \in \R^2$, on a $\displaystyle (MA, MB) = Arg(z_{BM}) - Arg(z_{AM}) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M - z_A) = Arg(z-2) - Arg(z+2).$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
avatar
Bonjour @gebrane0,

Après la méthode analytique, la géométrique, voici la complexe.

On a, pour $\displaystyle z-2 \neq 0, z+2 \neq 0$, $\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over z+2} = {\pi \over 6}.$ L'argument est compris modulo $2\pi.$

On sait alors qu'il existe un réel strictement positif, $\displaystyle r >0$, tel que $\displaystyle {z-2 \over z+2} = r e^{i {\pi \over 6}}.$ On calcule alors $\displaystyle z = 2 {1+r e^{i {\pi \over 6}} \over 1-r e^{i {\pi \over 6}}}.$

Comme on est astucieux, on calcule alors $\displaystyle z - 2 \sqrt{3}i = 4 {1+i {2r - \sqrt{3}} \over 2-\sqrt{3}r - i r}.$ On vérifie par calcul que $\displaystyle |{1+i {2r - \sqrt{3}} \over 2-\sqrt{3}r - i r}| = 1$ et il existe un réel $t$ tel que : $\displaystyle z - 2 \sqrt{3}i = 4e^{it}.$

On sait calculer parties réelle et imaginaire : $\displaystyle \cos t = 2 {1-r^2 \over r^2+(2-\sqrt{3}r)^2}, \sin t = 2{4r - \sqrt{3} - \sqrt{3} r^2 \over r^2+(2-\sqrt{3}r)^2}.$ Comme on a $\displaystyle \cos t \to \frac12, \sin t \to -{\sqrt{3} \over 2}$ quand $r \to 0^+$, alors $\displaystyle t \to -{\pi \over 3}$. De même, comme $\displaystyle \cos t \to -\frac12, \sin t \to -{\sqrt{3} \over 2}$ quand $\displaystyle r \to +\infty$, alors $\displaystyle t \to -{2\pi \over 3} = {4 \pi \over 3} \bmod{2\pi}.$

L'ensemble solution est donc $\displaystyle \{z \in \C \mid z=2\sqrt{3}i + 4 e^{it}, -{\pi \over 3}<t< {4 \pi \over 3} \}.$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Bonjour.

@YvesM. Tu as écrit : $\displaystyle (MA, MB) = \frac12 (CA, CB) $. Ce n'est pas possible: un nombre complexe possède deux racines carrées, et non pas une seule. La relation qui va bien est: $$ \left( (MA), (MB)\right) = \frac12 (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) $$ Un objet qui se mesure modulo 1/2 tour se trouve être la moitié d'un objet qui se mesure modulo 1 tour.

Tu as aussi écrit : $ (MA, MB) = Arg(z_{BM}) - Arg(z_{AM})$. Ce n'est pas possible non plus, que l'on utilise des angles de droites ou bien des angles de vecteurs. Si l'on dit qu'une baguette de pain vaut 60 centimes, cela veut dire 60 centimes, et pas 3.74 euros, et pas non plus 6.88 euros: un nombre est un nombre et pas un machin modulo $\pi $.


Il serait interressant que tu appliques ta méthode au cas où les deux pôles sont $2+2i$ et $-2-2i$
(cf figure ci-dessus)
.

Cordialement, Pierre.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pldx1.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @pldx1,

On n'a peut-être pas les mêmes notations ni définitions. J'ai donné les miennes dans mes postes... Tu écris un nombre est un nombre et pas un machin modulo $\pi.$ Merci, j'en prends note. On peut tout de même écrire une équation du type $x = 1 \mod(2)$, non ? Ne me répond pas : ce n'est pas possible, $x$ est un nombre et pas un machin modulo $2$... C'est pourtant ce que tu fais dans ton poste.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
@ YvesM. Sur tes indications, je viens de modifier mon message, mettant le début en small, et la fin en large. Est-ce que cela te va mieux ?


Cordialement, Pierre.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour tous le monde
@Gabu
Stp est ce que tu es d'accord avec ceci à 100%
Citation
YvesM
On a, pour $\displaystyle z-2 \neq 0, z+2 \neq 0$,
$\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over
z+2} = {\pi \over 6}.$ L'argument est compris modulo $2\pi.$

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
Si c'était écrit avec des petits a, je serais d'accord. Avec des grands A, ça n'a pas de sens.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
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Bonjour @pldx1,

Les trois méthodes : analytique, géométrique et complexe donnent le même résultat. Dans le cas où $z_a=2(1+i)$ et $z_B = -2(1+i)$ on trouve l'arc capable tracé en vert sur ta figure.

Si tu prétends que ce n'est pas la solution, alors donne un point en dehors de cet arc qui vérifie l'équation. Pas mieux qu'un bon contrexemple pour fixer les esprits.
Re: Géométrie et Complexes
il y a deux années
$-2\sqrt3+2\sqrt3i$

P.S. Raté.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GaBuZoMeu.
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