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Géométrie et Complexes

Envoyé par gebrane 
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 10:31
Bonjour.

Prenons donc un autre exemple: On définit $\phi(M)=Arg(z-2-2*I)-Arg(z+2+2*I)-30°$. Bien entendu, $Arg$ veut dire $Arg$ et non pas $Arg$ modulo un truc ou un autre, qui serait noté $arg$.

Les courbes en vert, cyan, noir sont différents arcs capables d'un angle de vecteurs. Ils décrivent de combien l'observateur $Z$ tourne son regard pour passer de $A$ vers $B$. Le long de l'arc vert, $\phi(Z)$ est constant, et vaut -60°. Le long de l'arc cyan, $\phi(Z)$ est constant, et vaut -180° (exactement cela, et pas modulo un truc ou un autre). On retrouve le fait que le cercle noir+cyan est caractérisé par un angle de droites.

Le long de l'arc noir, cela est plus compliqué. En effet, cet arc rencontre les coupures, et donc $\phi$ n'est plus constant, mais constant par morceaux. En $C$, on a 0°. Puis, entre les coupures, on a -360° (exactement cela, et pas modulo un truc ou un autre). Et au delà, on retrouve 0° (exactement cela, et pas modulo un truc ou un autre).

Cordialement, Pierre.


Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 11:55
avatar
Bonjour @gebrane0,

Géométriquement.

Dans le plan cartésien on définit les points $\displaystyle A(-2,0)$ et $\displaystyle B(2,0).$ On construit le point $C$ tel que le triangle $\displaystyle ABC$ est équilatéral et $\displaystyle (CA, CB) = +{\pi \over 3}.$ On calcule alors $\displaystyle C(0, 2\sqrt{3}).$

On cherche le lieu des points $M$ du plan tels que $\displaystyle (MA, MB) =+{\pi \over 6}.$ Comme on a $\displaystyle (MA, MB) = \frac12 (CA, CB) $, alors le point $M$ décrit l'arc de cercle capable $AB$ - le cercle est centré en $C$ et le segment $[AB]$ en est une corde.

Quel rapport avec la choucroute ?

Dans le plan complexe associé à ce plan cartésien : $\displaystyle z = x+iy \in \C$ avec $\displaystyle (x,y) \in \R^2$, on a $\displaystyle (MA, MB) = Arg(z_{BM}) - Arg(z_{AM}) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M - z_A) = Arg(z-2) - Arg(z+2).$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 11:57 par YvesM.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 12:42
avatar
Bonjour @gebrane0,

Après la méthode analytique, la géométrique, voici la complexe.

On a, pour $\displaystyle z-2 \neq 0, z+2 \neq 0$, $\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over z+2} = {\pi \over 6}.$ L'argument est compris modulo $2\pi.$

On sait alors qu'il existe un réel strictement positif, $\displaystyle r >0$, tel que $\displaystyle {z-2 \over z+2} = r e^{i {\pi \over 6}}.$ On calcule alors $\displaystyle z = 2 {1+r e^{i {\pi \over 6}} \over 1-r e^{i {\pi \over 6}}}.$

Comme on est astucieux, on calcule alors $\displaystyle z - 2 \sqrt{3}i = 4 {1+i {2r - \sqrt{3}} \over 2-\sqrt{3}r - i r}.$ On vérifie par calcul que $\displaystyle |{1+i {2r - \sqrt{3}} \over 2-\sqrt{3}r - i r}| = 1$ et il existe un réel $t$ tel que : $\displaystyle z - 2 \sqrt{3}i = 4e^{it}.$

On sait calculer parties réelle et imaginaire : $\displaystyle \cos t = 2 {1-r^2 \over r^2+(2-\sqrt{3}r)^2}, \sin t = 2{4r - \sqrt{3} - \sqrt{3} r^2 \over r^2+(2-\sqrt{3}r)^2}.$ Comme on a $\displaystyle \cos t \to \frac12, \sin t \to -{\sqrt{3} \over 2}$ quand $r \to 0^+$, alors $\displaystyle t \to -{\pi \over 3}$. De même, comme $\displaystyle \cos t \to -\frac12, \sin t \to -{\sqrt{3} \over 2}$ quand $\displaystyle r \to +\infty$, alors $\displaystyle t \to -{2\pi \over 3} = {4 \pi \over 3} \bmod{2\pi}.$

L'ensemble solution est donc $\displaystyle \{z \in \C \mid z=2\sqrt{3}i + 4 e^{it}, -{\pi \over 3}<t< {4 \pi \over 3} \}.$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 15:14 par AD.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 13:04
Bonjour.

@YvesM. Tu as écrit : $\displaystyle (MA, MB) = \frac12 (CA, CB) $. Ce n'est pas possible: un nombre complexe possède deux racines carrées, et non pas une seule. La relation qui va bien est: $$ \left( (MA), (MB)\right) = \frac12 (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) $$ Un objet qui se mesure modulo 1/2 tour se trouve être la moitié d'un objet qui se mesure modulo 1 tour.

Tu as aussi écrit : $ (MA, MB) = Arg(z_{BM}) - Arg(z_{AM})$. Ce n'est pas possible non plus, que l'on utilise des angles de droites ou bien des angles de vecteurs. Si l'on dit qu'une baguette de pain vaut 60 centimes, cela veut dire 60 centimes, et pas 3.74 euros, et pas non plus 6.88 euros: un nombre est un nombre et pas un machin modulo $\pi $.


Il serait interressant que tu appliques ta méthode au cas où les deux pôles sont $2+2i$ et $-2-2i$
(cf figure ci-dessus)
.

Cordialement, Pierre.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 13:59 par pldx1.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 13:35
avatar
Bonjour @pldx1,

On n'a peut-être pas les mêmes notations ni définitions. J'ai donné les miennes dans mes postes... Tu écris un nombre est un nombre et pas un machin modulo $\pi.$ Merci, j'en prends note. On peut tout de même écrire une équation du type $x = 1 \mod(2)$, non ? Ne me répond pas : ce n'est pas possible, $x$ est un nombre et pas un machin modulo $2$... C'est pourtant ce que tu fais dans ton poste.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 14:01
@ YvesM. Sur tes indications, je viens de modifier mon message, mettant le début en small, et la fin en large. Est-ce que cela te va mieux ?


Cordialement, Pierre.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:04
avatar
Bonjour tous le monde
@Gabu
Stp est ce que tu es d'accord avec ceci à 100%
Citation
YvesM
On a, pour $\displaystyle z-2 \neq 0, z+2 \neq 0$,
$\displaystyle Arg(z-2) - Arg(z+2) = Arg{z-2 \over
z+2} = {\pi \over 6}.$ L'argument est compris modulo $2\pi.$

Signature: Je suis de passage .
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:09
Si c'était écrit avec des petits a, je serais d'accord. Avec des grands A, ça n'a pas de sens.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:11
avatar
Bonjour @pldx1,

Les trois méthodes : analytique, géométrique et complexe donnent le même résultat. Dans le cas où $z_a=2(1+i)$ et $z_B = -2(1+i)$ on trouve l'arc capable tracé en vert sur ta figure.

Si tu prétends que ce n'est pas la solution, alors donne un point en dehors de cet arc qui vérifie l'équation. Pas mieux qu'un bon contrexemple pour fixer les esprits.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:16
$-2\sqrt3+2\sqrt3i$

P.S. Raté.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 16:23 par GaBuZoMeu.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:30
avatar
Bonjour,

Avec $\displaystyle z_A = 2(1+i), z_B=-2(1+i), z_M = -2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}i$, on a $\displaystyle Arg(z_M-z_A) = {11 \pi \over 12}, Arg(z_M-z_B) = {7 \pi \over 12}$ et donc $\displaystyle (MA, MB ) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M-z_A) = Arg{z_M-z_B \over z_M-z_A}= -{\pi \over 3}$ ce qui n'est pas égal à $\displaystyle {\pi \over 6}$ et le point $M$ n'est pas dans l'ensemble solution. Comme ce point $M$ n'est pas sur l'arc capable tracé en vert, je ne vois pas de contradiction.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:38
Pardon, erreur, je n'ai pas appliqué la similitude au bon point. Same player, shoot again :

$(1+i)(2+i2\sqrt3)$

P.S. Caramba, encore raté.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 16:22 par GaBuZoMeu.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:53
Pour Yves M. Je viens de revérifier l'exemple que je propose d'examiner, et ce n'est pas l'arc vert (celui qui passe par E), mais l'arc noir (celui qui passe par C) qui est sur la sellette. Quel est donc le lieu des $Z$ tels que $\phi(Z)=0°$ ?

Cordialement, Pierre.


Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 15:59
@GaBuZoMeu. Le point que tu proposes est le (A+C)/2 de ma figure. Ne manquerait-il pas un facteur 2 ?

Cordialement, Pierre.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 16:00 par pldx1.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 16:03
avatar
Bonjour,

Je crois que je vais sortir de mon propre fil
( c'est une première dans ce Forum)
Plein de confusion


Signature: Je suis de passage .
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 16:21
Voyons, pldx, c'est possible que je me sois encore fichu dedans. Tu passes du problème initial à ton problème par une similitude directe correspondant à la multiplication par $1+i$. Correct ?
Ah oui, je ne suis toujours pas parti du bon point. le bon point duquel je voulais partir, c'est $i(4+2\sqrt3)$, celui qui est "au sommet" de l'arc capable. Appliquons la similitude, l'image est
$$(1+i)i(4+2\sqrt3)= -4-2\sqrt3+i(4+2\sqrt3)$$
J'espère que ce-coup-ci, c'est enfin bon !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 16:21 par GaBuZoMeu.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 16:30
avatar
Bonjour,

@GaBuZoMeu : avec $\displaystyle z_M= -4-2 \sqrt{3} + i (4+2 \sqrt{3})$ et toujours l'arc de cercle capable en vert.

Avec $\displaystyle z_A = 2(1+i), z_B=-2(1+i), z_M = -4-2 \sqrt{3} + i (4+2 \sqrt{3}$, on a $\displaystyle Arg(z_M-z_A) = {5 \pi \over 6}, Arg(z_M-z_B) = {2 \pi \over 3}$ et donc $\displaystyle (MA, MB ) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M-z_A) = Arg{z_M-z_B \over z_M-z_A}= -{\pi \over 6}$ ce qui n'est pas égal à $\displaystyle {\pi \over 6}$ et le point $M$ n'est pas dans l'ensemble solution. Comme ce point $M$ n'est pas sur l'arc capable tracé en vert, je ne vois pas de contradiction.

On peut continuer longtemps... mais vous êtes aussi capable de calculer, alors que cherchez-vous à montrer ?
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 16:38
YvesM, si tu changes de signe en cours de route ...
pldx posait bien le problème avec $\mathrm{Arg}(z-z_A)-\mathrm{Arg}(z-z_B)$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 16:40 par GaBuZoMeu.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 16:44
avatar
Bonjour,

Je ne change rien. L'énoncé est tout en haut posé par @gebrane0. J'ai proposé les trois démonstrations analytique, géométrique et complexe avec le même énoncé... et la même relation : $(MA,MB) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M - z_A) = +{\pi \over 6}.$

Sur le dessin, avec $z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i)$ la solution est l'arc capable tracé en vert.

Pour une raison que je ne comprends pas (encore), @pdlx1 semble avoir un problème avec ce résultat. J'ai demandé un contrexemple et je n'en ai pas encore reçu... ce qui ne me surprends pas beaucoup compte tenu des démonstrations proposées.

@GaBuZoMeu,
Si on change le problème comme proposé par @pdlx1, alors le l'arc capable en noir devient la solution et ceci est confirmé par mon calcul sur ton $z$, non ? toujours pas de contradiction...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 16:48 par YvesM.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 16:50
On parle bien du problème de pldx (pas toi ?), avec
Citation

$\phi(M)=Arg(z-2-2*I)-Arg(z+2+2*I)-30°$
Si tu parles d'autre chose, ce n'est pas grave.

Bon, je vois que tu as fini par t'en apercevoir. Sauf que tu n'as pas compris que l'ensemble solution ici n'est justement pas tout l'arc capable. Relis posément ce qu'a écrit pldx.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 16:52 par GaBuZoMeu.
Dom
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 17:03
Bref il n'y a que les arcs qui sont capables, ici !!!
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 17:05
avatar
Bonjour,

Avec $z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i), \phi(M) = (MB,MA) = Arg(z_M - z_A) - Arg(z_M - z_B) = + {\pi \over 6}$, que je crois bien être le cas que vous considérez, je trouve effectivement l'arc capable tracé en noir.

Je veux bien un contrexemple : quel point $M$ se trouve sur l'arc en noir et n'est pas solution ?
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 17:25
Un exemple.


Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 17:26
Tu n'arrives pas à lire ce qu'écrit pldx ?
Quelle note faudrait-il te mettre sur cet exercice ? grinning smiley

Voyons, j'essaie de ne pas me tromper. Je prends l'image de $A$ par la rotation de centre $B$ d'angle $2\pi/3$ :
$$ -(2+2i) + (-1/2+i \sqrt3/2)(4+4i)=-4-2\sqrt3 +i(2\sqrt3-4)$$
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:02
avatar
Bonjour,

Alors je calcule avec $\displaystyle z_F = -4-2 \sqrt{3} + i (2 \sqrt{3} - 4).$

On a donc $\displaystyle z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i), \phi(F) = (FB,FA) = Arg(z_F - z_A) - Arg(z_F - z_B).$

On calcule $\displaystyle Arg(z_F - z_A) =Arg(-6-2 \sqrt{3} + i (2\sqrt{3}-6)) = -{11 \pi \over 12}, Arg(z_F - z_B) = Arg(-2(1+\sqrt{3}) + 2i ( \sqrt{3}-1)))= {11 \pi \over 12}$ et la différence vaut $\displaystyle \phi(F)= -{11 \pi \over 6} = + {\pi \over 6}$ modulo $2\pi.$

Donc le point $F$ est bien dans l'ensemble solution.

Sans déconner, qu'est-ce que vous comprenez pas ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 18:17 par YvesM.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:10
On voit bien sûr clairement sur la figure que l'argument de $z_F-z_A$ est $5\pi/6$, bien sûr.
Tu n'arrives pas à calculer $z_F-z_A$, ni $z_F-z_B$ ?

P.S.

1°) Tu modifies ton message sans laisser trace de ton erreur précédente. Tu avais honte ?

2°) Tu n'as toujours pas compris ce qu'est $\mathrm{Arg}$, l'argument principal ? Je te le rappelle : si $z$ est un complexe non nul, $\mathrm{Arg}(z)$ est l'élément de $\theta\in {]{-\pi},\pi]}$ tel que $z=|z|\, e^{i\theta}$.

Donc $\mathrm{Arg}(z_F-z_A)-\mathrm{Arg}(z_F-z_B) = -11\pi/6$ et $-11\pi/6\neq \pi/6$.

Par contre $\mathrm{arg}(z_F-z_A)-\mathrm{arg}(z_F-z_B) = \pi/6 \bmod{2\pi}$.

Élève YvesM, vous êtes indécrottable. Vous aurez $0$ à l'exercice. winking smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/02/2017 18:30 par GaBuZoMeu.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:26
avatar
Bonjour,

J'ai corrigé mon erreur de signe/ calcul. Donc on met le doigt sur ce que vous ne prenez pas en compte : le modulo. On trouve que $F$ est bien dans l'ensemble solution car $\phi (F) = -{11 \pi \over 6} =+ { \pi \over 6} \mod(2\pi).$ Il faut tout de même savoir que $Arg$ est une fonction définie modulo $2\pi$ et que, d'après l'énoncé, l'argument dit principal est choisi : on ramène grâce au modulo les arguments dans l'intervalle $]-\pi, \pi].$
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:32
Bon, je crois qu'à ce niveau d'obstination dans l'erreur, il n'y a plus grand chose à faire. le cas est désespéré.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:37
avatar
Bonjour,

J'écris ce que je fais. Si c'est faux, tu pourrais dire où ?
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:42
Il faut tout de même savoir que $Arg$ n'est pas une fonction définie modulo $2\pi$, mais que, au contraire, cette fonction a été définie par $\displaystyle Arg(z) = 2 \arctan {\Im(z) \over \Re(z) + |z|}$ (en ayant choisi de couper le plan selon la demi-droite formée par les réels négatifs ou nuls).


Qui donc a rappelé cette définition au cours de ce fil ?


Cordialement, Pierre.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:42
Je l'ai dit. $\mathrm{Arg}$ est un nombre réel, pas un nombre réel modulo $2\pi$ ; tu ne veux toujours pas comprendre la différence entre $\mathrm{Arg}$ et $\mathrm{arg}$.
Le nombre réel $-11\pi/6$ est différent du nombre réel $\pi/6$.

J'en ai marre de ton obstination à refuser de comprendre ça. Je sors.
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 18:55
avatar
Bonjour,

Mon cours et Wikipedia (*) définissent la fonction argument modulo $2\pi.$ Si tu ne le fais pas, merci de m'expliquer comment tu calcules l'argument de $1 = e^{i 2 \pi} =e^{i 100 \pi} $ ? Je veux bien apprendre. Peux-tu définir la fonction argument ?
Dans mes postes, je l'ai définie par $Arg: z=r e^{i \theta} \in \C^*, r>0, \theta \in ]-\pi, \pi] \mapsto \theta.$ Quand $\theta$ n'est pas dans cet intervalle, on utilise le modulo $2\pi.$

(*) observez le sérieux de la référence...

Dans notre exercice, comme $Arg(z) - Arg(w) = Arg(z/w) \mod(2\pi)$ (**) pour deux complexes non nuls, on a bien ce que je calcule. J'ai rappelé cette relation dans un de mes postes.

Est-ce cette relation (**) que vous ne voulez pas utiliser ? ça expliquerait pourquoi vous restez à $Arg(z)-Arg(w) = -{11 \pi \over 6}$ et n'utilisez pas le modulo $2\pi$...
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 19:20
avatar
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 19:33
avatar
Bonjour,

@soleil_vert, merci j'ai lu.

On aurait pu éviter tout ça si vous m'aviez corrigé dans mon premier poste où j'ai rappelé que $Arg(z)-Arg(w) = Arg(z/w) \mod(2\pi)$ pour tous complexes non nuls, ce qui est faux. Si on ne me corrige pas, alors que je prends soin d'écrire les relatios que j'utilise, j'ai tendance à penser que c'est juste...
Re: Géométrie et Complexes
28 fvrier 2017, 19:44
avatar
Ici Gabu a expliqué ta confusion entre arg et Arg [www.les-mathematiques.net]

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