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recherche de lieu

Envoyé par tit310 
recherche de lieu
il y a deux années
bonjour, voici la courbe paramétrée (C) que je dois étudier :
x(t) = t2+a/t
y(t) = (t+1)2+b/t où a et b sont des réels
on me demande de déterminer a et b pour que (C) admette un point de rebroussement en k
j'ai donc trouvé : a = 2k3 et b=2k2(k+1) (j'ai simplement résolu x'(k)=y'(k)=0)
on me demande maintenant de déterminer le lieu L de ce point de rebroussement lorsque k décrit R*
Dois-je exprimer k en fonction de a et b et essayer de retrouver une forme connue (conique ou autre) mais je ne suis vraiment pas certaine de moi car je ne comprends pas pourquoi il faudrait faire cela.
merci de votre aide,



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par tit310.
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bonjour,

Il faut éliminer $k$ entre $a$ et $b$.
Pour ça, le plus simple est de calculer $\dfrac{a}{b}$, d'en tirer $k$ en fonction de $a$ et $b$, et de reporter dans $a$ ou $b$.

Cordialement,

Rescassol
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bonjour,

J'ai un peu confondu $a,b$ et $x,y$.

Cordialement,

Rescassol
Re: recherche de lieu
il y a deux années
d'accord, je vois ce que vous voulez dire. en fait, il faut que j'arrive à exprimer x(t) et y(t) en enlevant k, juste avec a et b, c'est bien cela ?
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bonjour,

Oui.

Cordialement,

Rescassol
Re: recherche de lieu
il y a deux années
bon, après des essais peu concluant, est ce cela qu'il faut faire :
- exprimer k en fonction de a et b (je trouve k = a/(b-a))
et là, je ne sais pas dans quoi remplacer (x'(k) ou y'(k) car on sait que cela est nul) . Je suppose qu'il faut que j'arrive à une équation de lieu reconnaissable (quelles sont alors les variables ?)

merci encore pour l'aide
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bonjour
tu remplaces $a$ et $b$ par les valeurs que tu as trouvées dans $x\left( k\right) $ et $y\left( k\right) $ et tu as une représentation paramétrique de ton lieu.
On voit immédiatement la nature géométrique de ce lieu; mais, au cas où la suite te demanderait des précisions sur ce lieu, il sera alors utile d'écrire son équation cartésienne.
Cordialement. Poulbot

PS : Je ne vois absolument pas l'intérêt d'éliminer $k$ entre $a$ et $b$ pour répondre à la question posée, alors que cela se fait en écrivant directement le résultat



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par poulbot.
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bonjour,

En éliminant $k$ entre $a$ et $b$, je trouve $a^3+(2 - 3b)a^2 + 3b^2a - b^3=0$, ce qui n'est pas terrible.

Cordialement,

Rescassol
Re: recherche de lieu
il y a deux années
je trouve exactement la même chose, c'est pour cela que je pense que cela n'est pas correct. je ne reconnais rien.
Re: recherche de lieu
il y a deux années
en effet, on me demande la nature de ce lieu, puis de le tracer.
Mais j'obtiens des expressions qui ne me semblent pas évidente.
x(k) = (a/(b-a))2 +b-a
y(k)= (b/(b-a))2+b(b-a)/a
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bonjour,



Cordialement,

Rescassol

Edit: Suis le conseil de Poulbot.
L'équation entre $a$ et $b$ permet de calculer $b$ pour un $a$ donné.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Rescassol.
Re: recherche de lieu
il y a deux années
ne faut-il pas plutôt faire l'inverse : éliminer a et b dans x(k) et y(k) ?
j'obtiens
x(k) = 3k2
y(k) = (k+1)(3k+1)

est ce cela qu'ils attendent ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par tit310.
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bonjour,

Élimine $k$ entre ces deux dernières équations (développe d'abord $y$).

Cordialement,

Rescassol
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Bravo tit310
Comme je l'ai dit plus haut, l'équation cartésienne n'a d'intérêt que si on te la demande ou si tu en as besoin par la suite. Sinon, tu peux te contenter de la représentation paramétrique que tu as trouvée.
Si tu veux l'équation cartésienne, tu peux commencer par remarquer que $y-x=4k+1$.
Cordialement. Poulbot
Re: recherche de lieu
il y a deux années
merci beaucoup pour ces conseils
Re: recherche de lieu
il y a deux années
Tu peux éventuellement remarquer sur la représentation paramétrique que tu as affaire à une conique ayant une seule direction asymptotique.
Cordialement. Poulbot
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