recherche de lieu
bonjour, voici la courbe paramétrée (C) que je dois étudier :
x(t) = t2+a/t
y(t) = (t+1)2+b/t où a et b sont des réels
on me demande de déterminer a et b pour que (C) admette un point de rebroussement en k
j'ai donc trouvé : a = 2k3 et b=2k2(k+1) (j'ai simplement résolu x'(k)=y'(k)=0)
on me demande maintenant de déterminer le lieu L de ce point de rebroussement lorsque k décrit R*
Dois-je exprimer k en fonction de a et b et essayer de retrouver une forme connue (conique ou autre) mais je ne suis vraiment pas certaine de moi car je ne comprends pas pourquoi il faudrait faire cela.
merci de votre aide,
x(t) = t2+a/t
y(t) = (t+1)2+b/t où a et b sont des réels
on me demande de déterminer a et b pour que (C) admette un point de rebroussement en k
j'ai donc trouvé : a = 2k3 et b=2k2(k+1) (j'ai simplement résolu x'(k)=y'(k)=0)
on me demande maintenant de déterminer le lieu L de ce point de rebroussement lorsque k décrit R*
Dois-je exprimer k en fonction de a et b et essayer de retrouver une forme connue (conique ou autre) mais je ne suis vraiment pas certaine de moi car je ne comprends pas pourquoi il faudrait faire cela.
merci de votre aide,
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Réponses
Il faut éliminer $k$ entre $a$ et $b$.
Pour ça, le plus simple est de calculer $\dfrac{a}{b}$, d'en tirer $k$ en fonction de $a$ et $b$, et de reporter dans $a$ ou $b$.
Cordialement,
Rescassol
J'ai un peu confondu $a,b$ et $x,y$.
Cordialement,
Rescassol
Oui.
Cordialement,
Rescassol
- exprimer k en fonction de a et b (je trouve k = a/(b-a))
et là, je ne sais pas dans quoi remplacer (x'(k) ou y'(k) car on sait que cela est nul) . Je suppose qu'il faut que j'arrive à une équation de lieu reconnaissable (quelles sont alors les variables ?)
merci encore pour l'aide
tu remplaces $a$ et $b$ par les valeurs que tu as trouvées dans $x\left( k\right) $ et $y\left( k\right) $ et tu as une représentation paramétrique de ton lieu.
On voit immédiatement la nature géométrique de ce lieu; mais, au cas où la suite te demanderait des précisions sur ce lieu, il sera alors utile d'écrire son équation cartésienne.
Cordialement. Poulbot
PS : Je ne vois absolument pas l'intérêt d'éliminer $k$ entre $a$ et $b$ pour répondre à la question posée, alors que cela se fait en écrivant directement le résultat
En éliminant $k$ entre $a$ et $b$, je trouve $a^3+(2 - 3b)a^2 + 3b^2a - b^3=0$, ce qui n'est pas terrible.
Cordialement,
Rescassol
Mais j'obtiens des expressions qui ne me semblent pas évidente.
x(k) = (a/(b-a))2 +b-a
y(k)= (b/(b-a))2+b(b-a)/a
Cordialement,
Rescassol
Edit: Suis le conseil de Poulbot.
L'équation entre $a$ et $b$ permet de calculer $b$ pour un $a$ donné.
j'obtiens
x(k) = 3k2
y(k) = (k+1)(3k+1)
est ce cela qu'ils attendent ?
Élimine $k$ entre ces deux dernières équations (développe d'abord $y$).
Cordialement,
Rescassol
Comme je l'ai dit plus haut, l'équation cartésienne n'a d'intérêt que si on te la demande ou si tu en as besoin par la suite. Sinon, tu peux te contenter de la représentation paramétrique que tu as trouvée.
Si tu veux l'équation cartésienne, tu peux commencer par remarquer que $y-x=4k+1$.
Cordialement. Poulbot
Cordialement. Poulbot