recherche de lieu

tit310 · February 2017

bonjour, voici la courbe paramétrée (C) que je dois étudier :
x(t) = t²+a/t
y(t) = (t+1)²+b/t où a et b sont des réels
on me demande de déterminer a et b pour que (C) admette un point de rebroussement en k
j'ai donc trouvé : a = 2k³ et b=2k²(k+1) (j'ai simplement résolu x'(k)=y'(k)=0)
on me demande maintenant de déterminer le lieu L de ce point de rebroussement lorsque k décrit R^*
Dois-je exprimer k en fonction de a et b et essayer de retrouver une forme connue (conique ou autre) mais je ne suis vraiment pas certaine de moi car je ne comprends pas pourquoi il faudrait faire cela.
merci de votre aide,

Rescassol · February 2017

Bonjour,

Il faut éliminer $k$ entre $a$ et $b$.
Pour ça, le plus simple est de calculer $\dfrac{a}{b}$, d'en tirer $k$ en fonction de $a$ et $b$, et de reporter dans $a$ ou $b$.

Cordialement,

Rescassol

Rescassol · February 2017

Bonjour,

J'ai un peu confondu $a,b$ et $x,y$.

Cordialement,

Rescassol

tit310 · February 2017

d'accord, je vois ce que vous voulez dire. en fait, il faut que j'arrive à exprimer x(t) et y(t) en enlevant k, juste avec a et b, c'est bien cela ?

Rescassol · February 2017

Bonjour,

Oui.

Cordialement,

Rescassol

tit310 · February 2017

bon, après des essais peu concluant, est ce cela qu'il faut faire :
- exprimer k en fonction de a et b (je trouve k = a/(b-a))
et là, je ne sais pas dans quoi remplacer (x'(k) ou y'(k) car on sait que cela est nul) . Je suppose qu'il faut que j'arrive à une équation de lieu reconnaissable (quelles sont alors les variables ?)

merci encore pour l'aide

poulbot · February 2017

Bonjour
tu remplaces $a$ et $b$ par les valeurs que tu as trouvées dans $x\left( k\right) $ et $y\left( k\right) $ et tu as une représentation paramétrique de ton lieu.
On voit immédiatement la nature géométrique de ce lieu; mais, au cas où la suite te demanderait des précisions sur ce lieu, il sera alors utile d'écrire son équation cartésienne.
Cordialement. Poulbot

PS : Je ne vois absolument pas l'intérêt d'éliminer $k$ entre $a$ et $b$ pour répondre à la question posée, alors que cela se fait en écrivant directement le résultat

Rescassol · February 2017

Bonjour,

En éliminant $k$ entre $a$ et $b$, je trouve $a^3+(2 - 3b)a^2 + 3b^2a - b^3=0$, ce qui n'est pas terrible.

Cordialement,

Rescassol

tit310 · February 2017

je trouve exactement la même chose, c'est pour cela que je pense que cela n'est pas correct. je ne reconnais rien.

tit310 · February 2017

en effet, on me demande la nature de ce lieu, puis de le tracer.
Mais j'obtiens des expressions qui ne me semblent pas évidente.
x(k) = (a/(b-a))² +b-a
y(k)= (b/(b-a))²+b(b-a)/a

Rescassol · February 2017

Bonjour,

Cordialement,

Rescassol

Edit: Suis le conseil de Poulbot.
L'équation entre $a$ et $b$ permet de calculer $b$ pour un $a$ donné.

tit310 · February 2017

ne faut-il pas plutôt faire l'inverse : éliminer a et b dans x(k) et y(k) ?
j'obtiens
x(k) = 3k²
y(k) = (k+1)(3k+1)

est ce cela qu'ils attendent ?

Rescassol · February 2017

Bonjour,

Élimine $k$ entre ces deux dernières équations (développe d'abord $y$).

Cordialement,

Rescassol

poulbot · February 2017

Bravo tit310
Comme je l'ai dit plus haut, l'équation cartésienne n'a d'intérêt que si on te la demande ou si tu en as besoin par la suite. Sinon, tu peux te contenter de la représentation paramétrique que tu as trouvée.
Si tu veux l'équation cartésienne, tu peux commencer par remarquer que $y-x=4k+1$.
Cordialement. Poulbot

tit310 · February 2017

merci beaucoup pour ces conseils

poulbot · February 2017

Tu peux éventuellement remarquer sur la représentation paramétrique que tu as affaire à une conique ayant une seule direction asymptotique.
Cordialement. Poulbot

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