Droites concourantes

yan2
yan2
dans Géométrie
Bonjour,

un joli problème de géométrie que je partage avec vous.

$ABC$ est un triangle acutangle, $D$ est le pied de la hauteur issue de $A$; $E$ et $F$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AB]$. Soient $G\neq B$ et $H\neq C$ les points d'intersection du cercle circonscrit au triangle $ABC$ avec les cercles circonscrits aux triangles $BFD$ et $CED$ respectivement. On suppose que les points $A,G,B,H,C$ sont situés dans cet ordre sur le cercle auquel ils appartiennent.
Montrer que les droites $(EF),(HB)$ et $(CG)$ sont concourantes.

Cordialement,
Yan263542

Réponses

  • pldx1
    pldx1
    Bonjour,

    Il n'y a pas à se préoccuper de l'ordre des points sur le cercle. En outre, les trois points J sont alignés sur la tripolaire de l'orthocentre.

    Cordialement, Pierre.
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    On pourrait essayer de démontrer que les paires $(E,F)$, $(B,H)$, $(C,G)$ sont des paires de points inverses dans une défunte inversion à déterminer.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus63546
  • yan2
    yan2
    Bonsoir,

    @pldx1 : vous avez tout à fait raison.
    @pappus : effectivement l'inversion de centre $K$ et de rapport $KA$ permet de conclure. $K$ étant le point d'intersection de la tangente en $A$ au cercle circonscrit au triangle $ABC$ avec la droite $(EF)$.
    On peut aussi utiliser les coordonnées barycentriques pour montrer le résultat demandé.

    Cordialement,
    Yan2
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    il est clair que l'inversion proposée par yan2 et Pappus (inversion par rapport au $A$-cercle d'Apollonius de $AFE$) donne immédiatement le résultat :
    elle fixe $A$, $D$ et le cercle circonscrit à $ABC$, inverse $E$ et $F$ et les cercles passant par $D$ et tangents en $E$ et $F$ à la droite $EF$, c'est-à-dire les cercles $BFD$ et $CED$.
    Amicalement. Poulbot
  • pappus
    pappus
    Merci Poulbot
    Encore faut-il prouver que cette inversion opère sur ces points de la façon que l'on souhaite!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Pappus
    "Encore faut-il prouver que cette inversion opère sur ces points de la façon que l'on souhaite! "
    Voyons : elle transforme $\left\{ B,G\right\} $ en $\left\{ C,H\right\} $ et ne transforme pas $B$ en $C$.
    Amicalement
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour.

    "Il est bien connu" que le produit barycentrique d'un point à l'infini et de sa direction orthogonale donne un point de l'axe orthique. Et donc: quelles sont les deux directions orthogonales dont le produit barycentrique donne le point $J$ ?

    Cordialement, Pierre.
  • pappus
    pappus
    Merci Poulbot
    Nos messages se sontcroisés.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Pierre
    Je présume que ton point $J$ est celui que Pappus et yan2 nomment respectivement $\Omega $ et $I$ sur leurs figures, c'est-à-dire le produit barycentrique des points à l'$\infty $ des $2$ bissectrices de $\left( AB,AC\right) $.
    Cordialement. Poulbot
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour,

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le theoreme de Reim 1.pdf p. 7-10

    Sincèrement
    Jean-Louis


    P.S.
    Pendant que nous mettons nos masques,
    les masques de nos dirigeants tombent...
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