Théorème de Marden (Siebeck ?)

L'image par l'élévation au carré complexe d'une courbe de degré $d$ est de degré $2d$, mais ici vu que la courbe de départ est symétrique par rapport à l'origine la courbe image est double. L'image de l'ellipse est donc une conique double, qui ne peut être par compacité qu'une ellipse double.
Si $z=a\cos t+ib\sin t$, alors $z^2=re^{i\theta}$ avec $r=a^2\cos^2t+b^2\sin^2t$ et $$\cos\theta= \frac{a^2\cos^2t-b^2\sin^2t}{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}\;.$$
On voit immédiatement :-D que
$$ r= \frac{p}{1-e\cos\theta}$$
où $$ p=2\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \quad\text{et}\quad e=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\;.$$

Bonsoir à tous

Pour plus d'informations voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_de_Steiner

Amicalement,
zephir.

zephir écrivait:

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> Pour plus d'informations voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_de_Steiner

Manque de bol, zephir, ce n'est pas la bonne ellipse de Steiner. Celle dont il est question ici c'est plutôt celle-là.

J'ai bien mal lu l'énoncé de j_j. Il dit bien "ellipse circonscrite".
Le "on voit immédiatement que ..." de GaBuZoMeu est une suite de 8 signes "=" en remplaçant $sin^2$ par $(1-cos^2)$ et en calculant $rC$ où $C=cos\theta$

Bonjour
Une petite remarque matinale (avec mes excuses pour les nouvelles notations).
$a,b,c$ sont les affixes de $A,B,C$; $P=\left( X-a\right) \left( X-b\right) \left( X-c\right) $; $F_{1},F_{2}$ ont pour affixes les racines $z_{1},z_{2}$ de $P^{\prime }$.

Puisque $\dfrac{P^{\prime }}{P}=\dfrac{3\left( X-z_{1}\right) \left( X-z_{2}\right) }{\left( X-a\right) \left( X-b\right) \left( X-c\right) }=\dfrac{1}{X-a}+\dfrac{1}{X-b}+\dfrac{1}{X-c}$, une décomposition immédiate montre que
$\dfrac{\left( a-z_{1}\right) \left( a-z_{2}\right) }{\left( a-b\right) \left( a-c\right) }=...=...=\dfrac{1}{3}$.

So $\left( AB,AF_{1}\right) =\left( AF_{2},AC\right) ,...$; ainsi $F_{1}$ et $F_{2}$ sont isogonaux; comme leur milieu est le centre de gravité $G$ de $ABC$, ce sont les foyers de l'ellipse de Steiner inscrite.
Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus
Morris Marden $\left( 1905-1991\right) $ est un mathématicien américain. Voir Morris Marden.
En jetant un œil à Théorème de Marden, on a du mal à comprendre pourquoi ce théorème (qui est celui que j'évoquais ci-dessus) porte son nom, vu qu'il l'attribue à Jôrg Siebeck $\left( 1864\right) $.
Amicalement. Poulbot

zephir écrivait:

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> Le "on voit immédiatement que ..." de GaBuZoMeu
> est une suite de 8 signes "=" en remplaçant
> $sin^2$ par $(1-cos^2)$ et en calculant $rC$ où
> $C=cos\theta$

Je n'ai que deux signes "égal", et je ne remplace pas $\sin^2$ par $1-\cos^2$. Bon j'ai un peu triché, je connaissais les éléments de l'ellipse image et je suis parti de l'équation polaire.

@Poulbot et Chaurien : Marden est l'auteur d'un Geometry of Polynomials dans lequel il expose le théorème de Siebeck.

Voir par exemple le commentaire que fait Dan Kalman : http://dankalman.net/AUhome/pdffiles/mardenAMM.pdf

Bonjour zephir
On a $\dfrac{3\left( X-z_{1}\right) \left( X-z_{2}\right) }{\left( X-a\right) \left( X-b\right) \left( X-c\right) }=\dfrac{1}{X-a}+\dfrac{1}{X-b}+\dfrac{1}{X-c}$ $\left( =\dfrac{P^{\prime }}{P}\right) $ et on décompose le terme de gauche.
Amicalement. Poulbot

Bonjour
john_john wrote : "Cela vous convainc-t-il ?". Parfaitement et merci pour cette brillante explication.

Pour en revenir à la question de Pappus : "Plus généralement, on peut s'intéresser aux deux racines de l'équation $\dfrac{\alpha }{z-a}+\dfrac{\beta }{z-b}+\dfrac{\gamma }{z-c}=0$ où $\alpha ,\beta ,\gamma $ sont trois réels non nuls. Ce sont les foyers d'une conique inscrite $\Gamma _{\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) }$ dont on placera le centre et le perspecteur et dont on discutera le genre".

Dans le cas $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$, il suffit de modifier ce que j'avais dit plus haut (ICI).

On a $\dfrac{\left( \alpha +\beta +\gamma \right) \left( X-z_{1}\right) \left( X-z_{2}\right) }{\left( X-a\right) \left( X-b\right) \left( X-c\right) }=\dfrac{\alpha }{X-a}+\dfrac{\beta }{X-b}+\dfrac{\gamma }{X-c}$.

Ainsi $\dfrac{\left( a-z_{1}\right) \left( a-z_{2}\right) }{\left( a-b\right) \left( a-c\right) }=\dfrac{\alpha }{\alpha +\beta +\gamma },\dfrac{\left( b-z_{1}\right) \left( b-z_{2}\right) }{\left( b-c\right) \left( b-a\right) }=\dfrac{\beta }{\alpha +\beta +\gamma },\dfrac{\left( c-z_{1}\right) \left( c-z_{2}\right) }{\left( c-a\right) \left( c-b\right) }=\dfrac{\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }$.

Ces $3$ nombres étant réels, on a $\left( AB,AF_{1}\right) =\left( AF_{2},AC\right) ,...$ et $F_{1}$ et $F_{2}$ sont isogonaux.

Leur milieu, étant d'affixe $\dfrac{\left( \beta +\gamma \right) a+\left( \gamma +\alpha \right) b+\left( \alpha +\beta \right) c}{2\left( \alpha +\beta +\gamma \right) }$ est $\Omega =\left( \beta +\gamma :\gamma +\alpha :\alpha +\beta \right) $; ainsi $F_{1}$ et $F_{2}$ sont les foyers de la conique inscrite de centre $\Omega $ et, donc, de perspecteur $P=\left( \dfrac{1}{\alpha }:\dfrac{1}{\beta }:\dfrac{1}{\gamma }\right) $.

Si $\alpha +\beta +\gamma =0$, on va tomber sur la parabole inscrite de perspecteur $P$ et de foyer d'affixe la racine de $\dfrac{\alpha }{z-a}+\dfrac{\beta }{z-b}+\dfrac{\gamma }{z-c}=0$.

Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus
Je me dépêche de répondre car mes connaissances en électromagnétisme tendent rapidement vers $0$ avec le temps et je ne suis pas certain qu'elles soient encore suffisantes.

Si un plan coupe orthogonalement les $3$ fils en $A,B,C$, les points $M$ du plan où le champ est nul vérifient $i_{1}\dfrac{\overrightarrow{AM}}{AM^{2}}+i_{2}\dfrac{\overrightarrow{BM}}{BM^{2}}+i_{3}\dfrac{\overrightarrow{CM}}{CM^{2}}=\overrightarrow{0}$, soit $\dfrac{i_{1}}{z-a}+\dfrac{i_{2}}{z-b}+\dfrac{i_{3}}{z-c}=0$ et ton exercice permet de les localiser.

Au total, cela donne $2$ droites parallèles aux fils (une seule si $i_{1}+i_{2}+i_{3}=0$).

Amicalement. Poulbot