un exercice ardu de quatrième

Yannguyen
Yannguyen
dans Géométrie
Bonjour

Soit $ABC$ un triangle, de centre de gravité $G$. Les droites $MB$ et $MC$ sont perpendiculaires aux médianes $BG$ et $CG$, respectivement.

Montrer que $g$ est le milieu de $a$ et $m$, où la lettre minuscule indique le pied de la perpendiculaire sur $BC$ du point nommé par la lettre majuscule correspondante.

Un petit exo, qui ne dit pas tout sur ses retombées.
Yann

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Le point M n'a pas été introduit.
  • Yannguyen
    Yannguyen
    Bonjour Skyf,

    mais si !
  • JLT
    JLT
    Voici la réponse d'un élève de quatrième qui a vu le programme de seconde en avance :

    Soit $D$ le milieu de $[AM]$. Il suffit de montrer que $(GD)\perp (BC)$.

    On a $2\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{BM}$ donc $2\overrightarrow{GD}\cdot \overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$ puisque $\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{GB}=0$. De même, $2\overrightarrow{GD}\cdot \overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$. Par différence, $2\overrightarrow{GD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$.65162
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    Là où je suis, il ne me reste plus que mon smartphone pour rester en liaison avec le monde extérieur.
    Je n'ai pas Cabri évidemment donc pas de figure possible.
    Aussi tout se passe dans ma tête!
    J'ai l'intuition que la configuration de Yann est une conséquence de l'ortthologie.
    En fait le triangle $ABC$ est en orthologie avec le triangle antipodaire $MNP$ de $G$.
    Le premier centre d'orthologie est le point $G$, le second centre d'orthologie $G'$ est le centre de gravité du triangle $MNP$.
    On applique alors la théorie de l'orthologie pour conclure.
    Désolé de pouvoir être plus explicite.
    Il faudrait faire une figure!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Schimoon
    Schimoon
    Bonsoir

    "montrer que g est le milieu de a et m, "
    Petite erreur non ? g est le milieu de am j'imagine , pas de a et m ?

    Bonne soirée
    Schimoon
  • Dom
    Dom
    En effet, et même « de [am] » si on va par là.
  • Yannguyen
    Yannguyen
    @JLT, Bravo ! très jolie preuve, qui devrait intéresser les préparateurs d'olympiades. Une jolie illustration du calcul vectoriel !
    Merci !

    @pappus,

    Bien sûr, Maître ! Cet exercice est en rapport direct avec un exercice parallèle que j'ai posé sur le triangle podaire du point de Lemoine et sur son orthocentre.

    N'oubliez pas de boire beaucoup avec cette canicule

    Yann



    khao sat cac nha toan hoc là tot nhât và hào phóng nhât trong sô nhung nguoi dân ông
  • Chalk
    Chalk
    skyffer3 a écrit:
    Le point M n'a pas été introduit.
    Yann a écrit:
    mais si !

    Oui j'avais pas fait gaffe, effectivement M est uniquement défini. Mais formellement il n'a pas été introduit dans l'énoncé et c'est pour ça que j'ai tiqué (sans même aller plus loin je l'admets :-D). J'aurais préféré lire un énoncé qui dit, soit M un point tel que MB et MC soient perpendiculaires à [...]. Montrer qu'un tel point M existe et est unique.
  • fm_31
    fm_31
    Bonjour ,

    une démonstration mois élégante que celle donnée par JLT (et peut-être moins rigoureuse) du style contemplatif .

    Cordialement65228
    65230
  • Yannguyen
    Yannguyen
    @fm_31 Très jolie preuve aussi, rigoureuse aussi !

    Simplement, le "d'où" mérite un petit commentaire.

    Je me le suis justifié en disant que la puissance des points $B$ et $C$ étant la même par rapport au cercle de diamètre $gm$, c'est qu'ils sont équidistants du milieu de $gm$ et donc que le centre n'est autre que $J$...

    Cela prouve que les triangles semblables servent à quelque chose encore.



    Bonne journée,

    Yann


    Boire beaucoup par cette canicule !
  • fm_31
    fm_31
    Merci Yannguyen pour ces appréciations et surtout le complément apporté à ma démonstration .
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