Trigonométrie et inconnues

Karoutchok
Karoutchok
dans Géométrie
Bonjour à tous
Bon voilà, j'ai un problème trigono/géométrique (voir image ci-joint).
Mon but étant de déterminer (par le calcul) la valeur de l'angle alpha.

J'ai essayé un peu dans tous les sens mais je me retrouve avec une équation que je ne sais pas réduire ...
J'aimerais vraiment pouvoir comprendre le raisonnement pour résoudre ça, car j'aimerais ensuite pouvoir rentrer tout ça dans un tableur excel ou il y aura pour variables les valeurs de 1000 et 2000 ...

J'espère que j'ai correctement expliqué mon problème. :-)
Merci d'avance pour vos réponses.
Bonne journée.66190

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Pour les raisonnements géométriques, il est d'usage de nommer les points de la figure. Je t'aurais donné la réponse si tu l'avais fait ! Il suffit d'exprimer la "largeur horizontale" de la bande en fonction de 150 et de $\alpha$ en faisant apparaître un triangle rectangle dont un angle est $\alpha$, la suite est élémentaire.
  • Karoutchok
    Karoutchok
    Bonjour,

    D'abord merci de ta réponse.
    Et effectivement, en nommant les points c'est mieux :

    Le problème que je rencontre, c'est que dans le triangle rectangle GHI, l'angle a n'est pas encore exprimé, c'est une variable comme la longueur du segment HI.
    Et, effectivement, cette longueur de segment HI intervient dans le calcul de l'angle a dans mon triangle CEF (la longueur CF dépend directement de la longueur de HI).

    Je me demande si la solution ne pourrait pas ressembler à un système d'équation. Mais j'avoue que je sèche complètement.66198
  • gerard0
    gerard0
    Angles à côtés parallèles : L'angle GIH est $\alpha$.
  • Karoutchok
    Karoutchok
    Je suis d'accord que l'angle GIH = Angle a

    Mais je ne connais pas l'angle GIH (ni l'angle a d'ailleurs), c'est ce que je cherche à déterminer.
  • fm_31
    fm_31
    Bonjour ,

    tan(alpha) = 1000 / (2000 - ...)

    Cordialement
  • Karoutchok
    Karoutchok
    tan(alpha) = 1000 / (2000 - HI)

    HI = 150 / sin(alpha)

    Ok, j'en suis arrivé ici.

    J'ai remplacé HI :

    tan(alpha) = 1000 / (2000 - (150 / sin(alpha))

    Mais c'est exactement là que j'ai bloqué.
    Comment réduire cette équation?
  • fm_31
    fm_31
    Avec Geogebra , on obtient :66200
  • fm_31
    fm_31
    On peut peut-être simplifier en utilisant66202
  • Karoutchok
    Karoutchok
    Je t'avoue que je ne comprend ni ton résultat avec Geogebra, ni tes équations après ... Que représente le t? :-S

    De mon côté j'ai trouvé les identités trigonométriques, je me suis dit que ça pourrait m'aider, mais j'ai beaucoup de mal à les interpréter :66204
  • fm_31
    fm_31
    Cee sont les formules faisant intervenir l'arc moitié :66206
  • Karoutchok
    Karoutchok
    Je me demande aussi si ça ne peut pas être résolu en appliquant un système d'équation à 2 inconnues :

    Tan(alpha) = 1000 / (2000-x)
    x = 150 / sin(alpha)

    où x = HI

    Mais pareil, je ne sais pas le résoudre ...
  • fm_31
    fm_31
    En utilisant les formules de l'arc moitié , on tombe sur une équation de second degré facile à résoudre et donnant alpha=30,411°
  • fm_31
    fm_31
    Sans connaître les formules de l'arc moitié, on peut utiliser $$
    \tan(a) = \frac{\sin(a) }{ \cos(a)} = \frac{\sin(a)}{\sqrt{1-\sin^2(a)}}
    $$ Ainsi on a une équation qu'avec des sinus facile à résoudre.
  • Karoutchok
    Karoutchok
    Seulement je ne sais pas la résoudre ... :-S
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    tu n'est pas obligé de passer par l'arc moitié de $\alpha$

    tu appelles x la distance DE ; tu tombes sur deux équations simples : $sin\alpha = 150/x$ et $tan\alpha = 1000/(2000 - x)$

    tu élimines x , il vient l'équation trigo : $1000cos\alpha = 2000sin\alpha - 150$ soit encore uniquement en sinus :

    $2000sin²\alpha - 240sin\alpha - 391 = 0$

    tu poses $t = sin\alpha$ avec - 1 < t < 1

    et il te reste à résoudre ton équation du second degré en t sous cette contrainte

    cordialement
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