involution et faisceau de cercles

Bonsoir à tous,
je viens à peine de rentrer de voyage et je vois maître pappus partir dans les nuages.
Pour faire de la géométrie affine, nul besoin de faire appel au vectoriel sous-jacent.
Maître poulbot y voit décidément plus clair. Il a une meilleure optique et voit bien les foyers de l'involution optique associée.
Introduire le milieu $O$ des deux points limites $I$ et $J$ et composer par la symétrie de centre $O$.

Amicalement,
zephir.

Juste une petite remarque : ta proposition est un cas particulier ; tout faisceau de coniques, notamment de cercles donc, définit sur toute droite une involution dont les points doubles sont les points de contact des cercles du faisceau tangents à la droite ; toute involution sur une droite définit un faisceau de cercles centré sur une droite arbitrairement choisie non perpendiculaire à la droite sur laquelle est définie l'involution..

Bruno

Bonjour.

Voyons comment disposer simultanément des résultats donnés par pappus et Poulbot. On définit $z_{A},z_{B},z_{U},z_{I},z_{M}=+1,-1,u,\infty,m$ avec $u,m$ réels. L'involution $\phi$ est $A\leftrightarrow B$, $U\leftrightarrow I$, soit:$\phi\left(z\right)=\dfrac{uz-1}{z-u}$ et ses points fixes sont les $J$ tels que $z_{J}=u\pm W$ avec $W=\sqrt{u^{2}-1}$. Tous ces points sont pour l'instant décrits dans $

\def\cc{\mathbb{C}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\pccd{\mathbb{P}_{\cc}\!\left(\cc^{2}\right)} \def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}} \def\prb{\mathcal{Q}} \def\mqq{\boxed{\prb}}

$$\cc$ ou plutôt dans $\pccd$. Décrivons-les maintenant dans $\pcct$. On a: \[ A,B,U,M,J_{1},J_{2},J_{3},J_{4}\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -1\\ 1\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u\\ 1\\ u \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} m\\ 1\\ m \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u+W\\ 1\\ u+W \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u-W\\ 1\\ u-W \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u+W\\ 1\\ u-W \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u-W\\ 1\\ u+W \end{array}\right] \] \[ \Phi\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\simeq\left[\begin{array}{c} \left(u\vz-\vt\right)\left(\vzz-u\vt\right)\\ \left(\vz-u\vt\right)\left(\vzz-u\vt\right)\\ \left(\vz-u\vt\right)\left(u\vzz-\vt\right) \end{array}\right] \] Les points d'indétermination de cette transformation de Cremona sont les deux ombilics et le point $U$. Les points $J$ sont les points fixes de $\Phi$: il y en a quatre ! Les points $J_{1}J_{2}$ sont visibles lorsque $W\in\rr$, c'est à dire $u^{2}>1$ tandis que les points $J_{3}J_{4}$ sont visibles lorsque $W\in i\rr$, c'est à dire $u^{2}<1$.

Soit $\gamma$ le cercle centré en $U$ et passant par $J_{1}$ et $J_{2}$, $\Gamma_{x}$ le cercle de diamètre $\left[M,N\right]$ où $N=\phi\left(M\right)$ et $\left(J_{1}\right),\left(J_{3}\right)$ les cercles points centrés en $J_{1}$et $J_{3}$. On a: \[ \gamma,\Gamma_{x},\left(J_{1}\right),\left(J_{3}\right)\simeq\left[\begin{array}{c} -u\\ 2\\ -u\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} x^{2}-1\\ -2u\left(x^{2}-1\right)\\ x^{2}-1\\ 2\left(u-x\right) \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -u-W\\ 2\,u\left(u+W\right)\\ -u-W\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -u+W\\ 2\\ -u-W\\ 1 \end{array}\right] \] Et l'on retrouve: \[ \tra{\gamma}\cdot\mqq\cdot\Gamma_{x}=0 \] c'est l'orthogonalité utilisée par Poulbot. Et l'on retrouve aussi: \[ \tra{\left(J_{3}\right)}\cdot\mqq\cdot\Gamma_{x}=0 \] c'est l'orthogonalité utilisée par pappus. Et bien entendu, les deux cercles points $\left(J_{1}\right)$ et $\left(J_{3}\right)$ sont orthogonaux entre eux, tandis que $\gamma$ appartient au faisceau $\left(J_{3}\right),\left(J_{4}\right)$.

Cordialement, Pierre.

Mon cher Yann
Je doute beaucoup qu'une homographie du plan laissant stable une droite ait un pôle. Quelle serait sa définition?
À moins que tu n'entendes par là le point fixe qu'elle a en dehors de la droite.
Dans l'autre sens, si on a une homographie définie sur une droite du plan, tu peux la prolonger en fixant un point quelconque du plan non situé sur la droite.
Amicalement
[small]p[/small]appus on the move towards nowhere!

Ouf! Arrivé à l'hôtel!
Tu as raison Yann!
Je n'avais pas fait attention à ce qu'avait écrit Poulbot!
Ici le pôle de l'involution définie sur une droite D du plan est le point de cette droite qui s'échange avec le point à l'infini de cette droite.
Quant au prolongement, je parlais d'un prolongement circulaire direct et non d'un prolongement projectif.
Amicalement
[small]p[/small]appus