Géodésiques fermées d'une variété
Bonjour,
Une variété riemannienne dont toutes les géodésiques sont fermées (c'est-à-dire qu'en suivant la géodésique, on revient à son point de départ avec une vitesse qui a la même direction que la vitesse initiale) est-elle nécessairement une sphère $\mathbb{S}^n$ pour un certain $n$ ?
Merci d'avance.
Une variété riemannienne dont toutes les géodésiques sont fermées (c'est-à-dire qu'en suivant la géodésique, on revient à son point de départ avec une vitesse qui a la même direction que la vitesse initiale) est-elle nécessairement une sphère $\mathbb{S}^n$ pour un certain $n$ ?
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Réponses
C'est une question amusante. Il y a même un livre entier dédié à ces variétés : Manifolds all of whose geodesics are closed. En particulier, il n'y a pas que les sphères.
J'ai une autre question.
Soit $M$ une variété riemannienne connexe. Pour tout $x_0 \in M$, et tout $x'_0$ vecteur tangent non nul en $x_0$, soit $x(t)$ la géodésique telle que $x(0)=x_0$ et $x'(0)=x'_0$, on suppose alors qu'il existe $(t_n)$ une suite de réels positifs tendant vers $+\infty$ tels que $x(t_n)$ tend vers $y\in M$.
Est-ce qu'on peut en déduire que $M$ est compacte ?
@Pea: oui, c'est ça.
Est-ce que les variétés riemanniennes pour lesquelles toute géodésique peut-être prolongée pour un temps aussi grand que l'on veut (avec le paramétrage de mon précédent message), portent un nom ?
Maintenant, je vois (sans pouvoir le démontrer).
Merci.