Mouvement plan sur plan
Bonjour
On se donne un triangle $ABC$ dans le plan euclidien et un point $M$ variable sur le cercle circonscrit $\Gamma$ au triangle $ABC$. On note $S_M$ la droite de Simson du point $M$.
On sait depuis très longtemps que l'enveloppe de la droite de Simson $S_M$ quand $M$ parcourt le cercle $\Gamma$ est une hypocycloïde à 3 rebroussements $H_3$ que nos amis anglais appellent aussi Deltoïd.
Donner une construction simple du point de contact $T_M$ de la droite de Simson $S_M$ avec son enveloppe.
Soit $M'$ le point diamétralement opposé à $M$ sur le cercle $\Gamma$.
Montrer que la droite $T_MT_{M'}$ est encore une droite de Simson et que la distance $d(T_M,T_{M'})$ est constante.
Quelles sont la base et la roulante du mouvement plan sur plan associé au déplacement du segment $T_MT_{M'}$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
On se donne un triangle $ABC$ dans le plan euclidien et un point $M$ variable sur le cercle circonscrit $\Gamma$ au triangle $ABC$. On note $S_M$ la droite de Simson du point $M$.
On sait depuis très longtemps que l'enveloppe de la droite de Simson $S_M$ quand $M$ parcourt le cercle $\Gamma$ est une hypocycloïde à 3 rebroussements $H_3$ que nos amis anglais appellent aussi Deltoïd.
Donner une construction simple du point de contact $T_M$ de la droite de Simson $S_M$ avec son enveloppe.
Soit $M'$ le point diamétralement opposé à $M$ sur le cercle $\Gamma$.
Montrer que la droite $T_MT_{M'}$ est encore une droite de Simson et que la distance $d(T_M,T_{M'})$ est constante.
Quelles sont la base et la roulante du mouvement plan sur plan associé au déplacement du segment $T_MT_{M'}$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
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Réponses
Voici un début.
L'équation complexe de $S_{M}$ est:
$ 2m z - 2 \sigma_3 \overline z - m^2 -m \sigma_1 + \sigma_2 + \dfrac{\sigma_3}{m} = 0.$
Le point de contact $T_{M}$ de la droite de Simson avec son enveloppe, s'obtient en dérivant l'équation de la droite de Simson par rapport au paramètre (méromorphe) $m$ et on obtient son affixe :
$z_{T_{M}}= \dfrac{\sigma_1} 2 + m+ \dfrac{\sigma_3}{2m^2}.$
$M'$ est le point diamétralement opposé à $M$ sur le cercle $\Gamma.$ Je trouve que :
l'équation complexe de $S_{M'}$ est:
$ -2m z - 2 \sigma_3 \overline z - m^2 +m \sigma_1 + \sigma_2 - \dfrac{\sigma_3}{m} = 0.$
et
$z_{T_{M'}}= \dfrac{\sigma_1} 2 - m+ \dfrac{\sigma_3}{2m^2}.$
Avec ces éléments, on trouve que $d(T_M,T_{M'}) = 2.$
Amicalement
Il reste à trouver le point dont la droite $T_MT_{M'}$ est la droite de Simson!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici la figure à Rescassoliser!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Avant de faire la moindre supputation et de commencer le moindre calcul, regarde de tous tes yeux, regarde!
Amicalement
[small]p[/small]appus
$\dfrac{2}{m} z - 2m \overline z - 4m^2\sigma_1\sigma_3 +4m^4 \sigma_2+4m^6 -4\sigma_3^2 = 0.$
Attention à mes notations, sur ma figure, le point $P$ a pour droite de Simson la droite $T_MT_{M'}$.
C'est ce point dont il faut calculer l'affixe de façon urgente!
Quant au point $p$, c'est lui l'intersection des droites de Simson $S_M$ et $S_{M'}$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Brièvement,
"Donner une construction simple du point de contact $T_{M}$ de la droite de Simson $S_{M}$ avec son enveloppe"
$S_{M}$ coupe le cercle d'Euler au milieu $m$ de $\left[ HM\right] $ et en $p$; $T_{M}$ est le symétrique de $p$ par rapport à $m$.
"Soit $M^{\prime }$ le point diamétralement opposé à $M$ sur le cercle $\Gamma $. Montrer que la droite $T_{M}T_{M^{\prime }}$ est encore une droite de Simson et que la distance $d\left( T_{M},T_{M^{\prime }}\right) $ est constante"
$\left[ mm^{\prime }\right] $ étant un diamètre du cercle d'Euler, on a $d\left( T_{M},T_{M^{\prime }}\right) =2R$.
Les perpendiculaires en $M$ et $M^{\prime }$ à $S_{M}$ et $S_{M^{\prime }}$ se coupent sur $\Gamma $ en $P$; ce point est aussi le symétrique de $H$ par rapport au milieu de $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $ et l'anticomplément de $p$ (son image par l'homothétie de centre $G$, rapport $-2$) et $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $ est la droite de Simson de $P$.
"Quelles sont la base et la roulante du mouvement plan sur plan associé au déplacement du segment $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $?"
Le centre instantané de rotation $I$ étant le point commun aux perpendiculaires en $T_{M}$ à $S_{M}$ et en $T_{M^{\prime }}$ à $S_{M^{\prime }}$, la roulante est le cercle de diamètre $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $ (et aussi de diamètre $\left[ Ip\right] $). $I$ étant l'image de $p$ par l'homothétie $\left( N,-3\right) $, la base est le cercle de centre $N$ et de rayon $\dfrac{3R}{2}$ (qui passe par les $3$ points de rebroussement de l'hypocycloïde).
Amicalement. Poulbot
Dommage que je ne sache pas réaliser des animations sur le forum, celle-ci est particulièrement jolie!
Soit $\Delta$ un diamètre de la roulante. Quelle est son enveloppe? Quels sont les lieux de ses extrémités?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Avec mes notations $T_M$ et $T_{M'}$ sont les points de contact des droites de Simson $S_M$ et $S_{M'}$ avec le deltoïde. Qu'appelles-tu perpendiculaires en $M$ et $M'$ à $T_M$ et $T_{M'}$?
Autrement dit avec tes notations, que sont $T_M$ et $T_{M'}$?
Je suppose que tu as voulu dire les perpendiculaires en $M$ et $M'$ à $S_M$ et $S_{M'}$?
"Je suppose que tu as voulu dire les perpendiculaires en $M$ et $M^{\prime }$ à $S_{M}$ et $S_{M^{\prime }}$?"
Oui! Merci pour m'avoir signalé cette faute d'inattention, désormais corrigée.
Amicalement. Poulbot
Le plus dur est de rendre l'impression que la roulante roule bien sans glisser sur la base.
Il ne faut pas s'hypnotiser sur les mouvements du centre instantané de rotation dans le plan fixe et dans le plan mobile lié au diamètre $T_MT_{M'}$!
Ce que je faisais avec Cabri, c'était d'inscrire un polygone régulier, triangle équilatéral ou carré, qui soit lié au diamètre $T_MT_{M'}$.
Ici par exemple, on peut inscrire dans la roulante le carré de diagonale $T_MT_{M'}$ et c'est pourquoi je demandais l'enveloppe des diamètres liés à la roulante ainsi que le lieu de leurs extrémités.
Si tu pouvais réaliser cette animation, je t'en saurais gré!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pappus wrote : "Soit $\Delta $ un diamètre de la roulante. Quelle est son enveloppe? Quels sont les lieux de ses extrémités?"
On fait rouler sans glisser un cercle de rayon $R$ sur un cercle fixe de rayon $\dfrac{3R}{2}$, le contact étant intérieur. Les extrémités d'un diamètre du cercle mobile devraient décrire encore une deltoïde dont les points de rebroussement sont sur le cercle fixe, cette deltoïde étant aussi l'enveloppe du diamètre.
Amicalement. Poulbot
Les calculs ci-dessous reprennent des résultats connus, et permettent de vérifier les alignements signalés par pappus.
On utilise les coordonnées projectives de Morley $\def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}$ $\vz:\vt:\vzz$. On part de $A,B,C,M$ sur le cercle unité: \[ A,B,C,M\simeq\left[\begin{array}{c} \alpha\\ 1\\ \alpha^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \beta\\ 1\\ \beta^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \gamma\\ 1\\ \gamma^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \tau\\ 1\\ \tau^{-1} \end{array}\right] \] On projette $M$ sur les trois côtés, obtenant: \[ M_{a},M_{b},M_{c}\simeq\left[\begin{array}{c} \beta\,\gamma\,\left(\tau\,\beta+\tau\,\gamma+\tau^{2}-\beta\,\gamma\right)\\ 2\,\tau\,\beta\,\gamma\\ \beta\,\gamma+\tau\,\beta+\tau\,\gamma-\tau^{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \alpha\,\gamma\,\left(\tau\,\alpha+\tau\,\gamma+\tau^{2}-\alpha\,\gamma\right)\\ 2\,\tau\,\alpha\,\gamma\\ \alpha\,\gamma+\tau\,\alpha+\tau\,\gamma-\tau^{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \beta\,\alpha\,\left(\tau\,\alpha+\tau\,\beta+\tau^{2}-\beta\,\alpha\right)\\ 2\,\tau\,\beta\,\alpha\\ \beta\,\alpha+\tau\,\alpha+\tau\,\beta-\tau^{2} \end{array}\right] \] Ces points sont alignés sur la droite de Simson $S_{M}\simeq[2\,\tau^{2},-\tau^{2}s_{1}-\tau^{3}+\tau\,s_{2}+s_{3},-2\,s_{3}\,\tau]$. Vu que la direction de cette droite est $\delta_{M}\simeq s_{3}:0:\tau$, cette droite tourne à vitesse constante, à contre-sens de $M$ et prend une fois chaque direction lorsque $M$ prend une fois ses valeurs sur le circonscrit.
J'appelle $N$ le point $2O-M$ (pappus l'appelle $M'$ et utilise $N$ pour désigner X(5)). On a $N\left(\tau\right)=M\left(-\tau\right)$, prouvant que $S_{M}$et $S_{N}$ sont orthogonales. Leur intersection est: \[ P\simeq\left[\begin{array}{c} s_{3}\,\left(\tau^{2}s_{1}-s_{3}\right)\\ 2\,\tau^{2}s_{3}\\ \tau^{2}\left(s_{2}-\tau^{2}\right) \end{array}\right] \] En écrivant que $z_{P}={\displaystyle \frac{s_{1}}{2}-}\dfrac{s_{3}}{2\tau^{2}}$, on voit que le lieu de $P$ est le cercle des neuf points (parcouru à contre sens, à la vitesse d'un tour par tour).
L'intersection d'une droite $S_{M}$ et du NPC est composée de ce point $P$ et du point $M_{5}\doteq(H+M)/2$. Nous utilisons uniformément l'indice 5 pour désigner le résultat de cette homothétie, avec la notation $H=$X(4). L'enveloppe des droites de Simson s'obtient en écrivant que son point mobile est \[ T_{M}\doteq S_{M}\wedge\frac{\partial}{\partial\tau}S_{M}\simeq\left[\begin{array}{c} s_{3}\,\left(\tau^{2}s_{1}+2\,\tau^{3}+s_{3}\right)\\ 2\,\tau^{2}s_{3}\\ \tau\,\left(\tau^{3}+\tau\,s_{2}+2\,s_{3}\right) \end{array}\right] \] On retrouve le résultat bien connu: $z_{T}={\displaystyle \frac{s_{1}}{2}}+\tau+\dfrac{s_{3}}{2\tau^{2}}$, engendrant un deltoïde qui vient se loger entre le NPC et le BOC (big orange circle).
Si l'on remarque que $\overrightarrow{T_{N}T_{M}}=2\tau=2\overrightarrow{OM}$, la valeur $2R$ pour la longueur $\left|T_{N}T_{M}\right|$ n'est plus trop surprenante. Une contemplation attentive de la figure donne envie de calculer le point $Q$, projection de $P$ sur la droite $T_{N}T_{M}$. On trouve: \[ Q\simeq\left[\begin{array}{c} \tau^{4}\left(s_{1}\,s_{3}-\tau^{4}\right)\\ 2\,s_{3}\,\tau^{4}\\ s_{2}\,\tau^{4}-s_{3}^{2} \end{array}\right]\;;\;z_{Q}={\displaystyle \frac{s_{1}}{2}-}\dfrac{\tau^{4}}{2s_{3}} \] Étant donné que $z_{Q}\left(\tau\right)=z_{P}\left(s_{3}/\tau^{2}\right)$, on voit que $T_{N}T_{M}$ est la droite de Simson du point $K$ défini par $z_{K}=s_{3}/\tau^{2}$ (tandis que $PQ$ est la droite de Simson de $L\doteq2O-K$). Note: pappus utilise $P$ pour désigner ce point $K$, et $p$ pour désigner le point de perpendicularité)
On remarque que $K_{5}$ est l'antipode de $P$ dans le NPC et est le milieu commun de $\left[T_{M},T_{N}\right]$, de $\left[H,K\right]$ et de $\left[P,P'\right]$ (ce dernier est la définition de $P'$).
On remarque les alignements de $P,L$ sur X(4), de $K,P'$ sur X(20), de $K,P$ sur X(2), de $P',L$ sur X(631).
Cordialement, Pierre
Il est vrai qu'un bon étiquetage facilite grandement la compréhension de la figure!
Amicalement
[small]p[/small]appus