Mouvement plan sur plan

Mon cher pappus,
Voici un début.
L'équation complexe de $S_{M}$ est:
$ 2m z - 2 \sigma_3 \overline z - m^2 -m \sigma_1 + \sigma_2 + \dfrac{\sigma_3}{m} = 0.$
Le point de contact $T_{M}$ de la droite de Simson avec son enveloppe, s'obtient en dérivant l'équation de la droite de Simson par rapport au paramètre (méromorphe) $m$ et on obtient son affixe :
$z_{T_{M}}= \dfrac{\sigma_1} 2 + m+ \dfrac{\sigma_3}{2m^2}.$
$M'$ est le point diamétralement opposé à $M$ sur le cercle $\Gamma.$ Je trouve que :
l'équation complexe de $S_{M'}$ est:
$ -2m z - 2 \sigma_3 \overline z - m^2 +m \sigma_1 + \sigma_2 - \dfrac{\sigma_3}{m} = 0.$
et
$z_{T_{M'}}= \dfrac{\sigma_1} 2 - m+ \dfrac{\sigma_3}{2m^2}.$
Avec ces éléments, on trouve que $d(T_M,T_{M'}) = 2.$
Amicalement

L'affixe $p$ de l'intersection de $S_{M}$ et $S_{M'}$ est $\dfrac{\sigma_1m^2-2\sigma_3 }{4m^2 }.$ Le centre de gravité a pour affixe $\dfrac{\sigma_1}{3}.$

Bonjour Pappus et Bouzar
Brièvement,
"Donner une construction simple du point de contact $T_{M}$ de la droite de Simson $S_{M}$ avec son enveloppe"

$S_{M}$ coupe le cercle d'Euler au milieu $m$ de $\left[ HM\right] $ et en $p$; $T_{M}$ est le symétrique de $p$ par rapport à $m$.

"Soit $M^{\prime }$ le point diamétralement opposé à $M$ sur le cercle $\Gamma $. Montrer que la droite $T_{M}T_{M^{\prime }}$ est encore une droite de Simson et que la distance $d\left( T_{M},T_{M^{\prime }}\right) $ est constante"

$\left[ mm^{\prime }\right] $ étant un diamètre du cercle d'Euler, on a $d\left( T_{M},T_{M^{\prime }}\right) =2R$.
Les perpendiculaires en $M$ et $M^{\prime }$ à $S_{M}$ et $S_{M^{\prime }}$ se coupent sur $\Gamma $ en $P$; ce point est aussi le symétrique de $H$ par rapport au milieu de $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $ et l'anticomplément de $p$ (son image par l'homothétie de centre $G$, rapport $-2$) et $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $ est la droite de Simson de $P$.

"Quelles sont la base et la roulante du mouvement plan sur plan associé au déplacement du segment $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $?"

Le centre instantané de rotation $I$ étant le point commun aux perpendiculaires en $T_{M}$ à $S_{M}$ et en $T_{M^{\prime }}$ à $S_{M^{\prime }}$, la roulante est le cercle de diamètre $\left[ T_{M}T_{M^{\prime }}\right] $ (et aussi de diamètre $\left[ Ip\right] $). $I$ étant l'image de $p$ par l'homothétie $\left( N,-3\right) $, la base est le cercle de centre $N$ et de rayon $\dfrac{3R}{2}$ (qui passe par les $3$ points de rebroussement de l'hypocycloïde).

Amicalement. Poulbot

Re-bonjour Pappus
"Je suppose que tu as voulu dire les perpendiculaires en $M$ et $M^{\prime }$ à $S_{M}$ et $S_{M^{\prime }}$?"
Oui! Merci pour m'avoir signalé cette faute d'inattention, désormais corrigée.
Amicalement. Poulbot

Bonjour,

Les calculs ci-dessous reprennent des résultats connus, et permettent de vérifier les alignements signalés par pappus.

On utilise les coordonnées projectives de Morley $\def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}$ $\vz:\vt:\vzz$. On part de $A,B,C,M$ sur le cercle unité: \[ A,B,C,M\simeq\left[\begin{array}{c} \alpha\\ 1\\ \alpha^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \beta\\ 1\\ \beta^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \gamma\\ 1\\ \gamma^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \tau\\ 1\\ \tau^{-1} \end{array}\right] \] On projette $M$ sur les trois côtés, obtenant: \[ M_{a},M_{b},M_{c}\simeq\left[\begin{array}{c} \beta\,\gamma\,\left(\tau\,\beta+\tau\,\gamma+\tau^{2}-\beta\,\gamma\right)\\ 2\,\tau\,\beta\,\gamma\\ \beta\,\gamma+\tau\,\beta+\tau\,\gamma-\tau^{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \alpha\,\gamma\,\left(\tau\,\alpha+\tau\,\gamma+\tau^{2}-\alpha\,\gamma\right)\\ 2\,\tau\,\alpha\,\gamma\\ \alpha\,\gamma+\tau\,\alpha+\tau\,\gamma-\tau^{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \beta\,\alpha\,\left(\tau\,\alpha+\tau\,\beta+\tau^{2}-\beta\,\alpha\right)\\ 2\,\tau\,\beta\,\alpha\\ \beta\,\alpha+\tau\,\alpha+\tau\,\beta-\tau^{2} \end{array}\right] \] Ces points sont alignés sur la droite de Simson $S_{M}\simeq[2\,\tau^{2},-\tau^{2}s_{1}-\tau^{3}+\tau\,s_{2}+s_{3},-2\,s_{3}\,\tau]$. Vu que la direction de cette droite est $\delta_{M}\simeq s_{3}:0:\tau$, cette droite tourne à vitesse constante, à contre-sens de $M$ et prend une fois chaque direction lorsque $M$ prend une fois ses valeurs sur le circonscrit.

J'appelle $N$ le point $2O-M$ (pappus l'appelle $M'$ et utilise $N$ pour désigner X(5)). On a $N\left(\tau\right)=M\left(-\tau\right)$, prouvant que $S_{M}$et $S_{N}$ sont orthogonales. Leur intersection est: \[ P\simeq\left[\begin{array}{c} s_{3}\,\left(\tau^{2}s_{1}-s_{3}\right)\\ 2\,\tau^{2}s_{3}\\ \tau^{2}\left(s_{2}-\tau^{2}\right) \end{array}\right] \] En écrivant que $z_{P}={\displaystyle \frac{s_{1}}{2}-}\dfrac{s_{3}}{2\tau^{2}}$, on voit que le lieu de $P$ est le cercle des neuf points (parcouru à contre sens, à la vitesse d'un tour par tour).

L'intersection d'une droite $S_{M}$ et du NPC est composée de ce point $P$ et du point $M_{5}\doteq(H+M)/2$. Nous utilisons uniformément l'indice 5 pour désigner le résultat de cette homothétie, avec la notation $H=$X(4). L'enveloppe des droites de Simson s'obtient en écrivant que son point mobile est \[ T_{M}\doteq S_{M}\wedge\frac{\partial}{\partial\tau}S_{M}\simeq\left[\begin{array}{c} s_{3}\,\left(\tau^{2}s_{1}+2\,\tau^{3}+s_{3}\right)\\ 2\,\tau^{2}s_{3}\\ \tau\,\left(\tau^{3}+\tau\,s_{2}+2\,s_{3}\right) \end{array}\right] \] On retrouve le résultat bien connu: $z_{T}={\displaystyle \frac{s_{1}}{2}}+\tau+\dfrac{s_{3}}{2\tau^{2}}$, engendrant un deltoïde qui vient se loger entre le NPC et le BOC (big orange circle).

Si l'on remarque que $\overrightarrow{T_{N}T_{M}}=2\tau=2\overrightarrow{OM}$, la valeur $2R$ pour la longueur $\left|T_{N}T_{M}\right|$ n'est plus trop surprenante. Une contemplation attentive de la figure donne envie de calculer le point $Q$, projection de $P$ sur la droite $T_{N}T_{M}$. On trouve: \[ Q\simeq\left[\begin{array}{c} \tau^{4}\left(s_{1}\,s_{3}-\tau^{4}\right)\\ 2\,s_{3}\,\tau^{4}\\ s_{2}\,\tau^{4}-s_{3}^{2} \end{array}\right]\;;\;z_{Q}={\displaystyle \frac{s_{1}}{2}-}\dfrac{\tau^{4}}{2s_{3}} \] Étant donné que $z_{Q}\left(\tau\right)=z_{P}\left(s_{3}/\tau^{2}\right)$, on voit que $T_{N}T_{M}$ est la droite de Simson du point $K$ défini par $z_{K}=s_{3}/\tau^{2}$ (tandis que $PQ$ est la droite de Simson de $L\doteq2O-K$). Note: pappus utilise $P$ pour désigner ce point $K$, et $p$ pour désigner le point de perpendicularité)

On remarque que $K_{5}$ est l'antipode de $P$ dans le NPC et est le milieu commun de $\left[T_{M},T_{N}\right]$, de $\left[H,K\right]$ et de $\left[P,P'\right]$ (ce dernier est la définition de $P'$).

On remarque les alignements de $P,L$ sur X(4), de $K,P'$ sur X(20), de $K,P$ sur X(2), de $P',L$ sur X(631).

Cordialement, Pierre