Une couverture

Non , ce n'est pas du tout cela .

Bonjour pldx1

ma construction que je croyais erronée donne le même résultat .

Cordialement

Bonsoir fm_31, pldx1, soland et tous,
Fm_31, je suppose qu'il est depuis longtemps prouvé que les deux cercles se coupent bien sur les côtés du triangle ?
Ne pourrait-on pas faire la même construction sur les deux autres sommets ?
Quelle serait alors la construction répondant à la question de Soland ? Je suppose qu'il faudrait évaluer les différents r1 et r2 en fonction de a, b et c et des angles du triangle, n'est-ce pas ? Compliqué, mais pas infaisable ...
Bien cordialement

Bonsoir à tous

"L'aire totale des deux disques" est-elle l'aire de leur union ou la somme de leurs aires?
Dans un cas comme dans l'autre, je suis d'accord avec fm_31 pour dire que rien ne prouve que cette construction résout la question.

Amicalement
Paul

Bonjour.

Le facteur $\pi$ ne sert à rien ici: il vaut mieux minimiser $r_1 ^2+r_2^2$ que la somme des surfaces des disques. Il est assez clair qu'il faut apparier les bords des disques avec les bords du triangle, sinon on peut contracter l'un ou l'autre cercle. On arrive à une situation où le centre $O_1$ est sur une médiatrice, situation à un paramètre.

Les techniques usuelles donnent la position de $O_1$, les égalités $M_cO_1=O_1O=O_2C=r_2$ et la valeur $r_1^2+r_2^2=R^2/2+c^2/8$. Dans ce contexte, $$r_2^2 ={\frac {{c}^{2} \left( {a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2} \right) ^{2}}{256\,{S}^
{2}}}
$$ et $r_1 \neq r_2$

Cordialement, Pierre.

Bonjour,

On a la propriété: Pour tout $O_1$ sur la médiatrice de $[AB]$, $O_1O_2CO$ est un parallèlogramme.
Donc $r_2=O_1O$.
Par ailleurs $r_1^2=O_1M_c^2+(\frac{c}{2})^2$
$r_1^2+r_2^2$ est donc minimum quand $O_1M_c^2+O_1O^2$ l'est, i.e quand $O_1$ est le milieu de $M_cO$.

Cordialement
Paul

PS: pensez-vous qu'on trouve les deux mêmes cercles si on remplace "somme des aires des disques" par "aire de leur union"?

Bonjour Soland,

ce n'est pas moi qui ai envoyé le dossier Geogebra, c'est fm_31; dossier que, comme toi, je n'arrive pas à ouvrir :-(

Amicalement
Paul

Pour ceux qui n'arrivent pas à ouvrir le fichier GeoGebra , je l'ai mis en partagé .
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