Intersection de droites de $\mathbb{RP}^2$
Bonjour
J'étudie la géométrie projective et j'ai cet exercice qui me pose problème. L'énoncé est le suivant.
On considère le plan affine $\mathbb{A}^2$ comme le plan $\{z = 1\} \subset \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$. Trouver le point d'intersection $P \in \mathbb{RP}^2$ des droites de $\mathbb{A}^2: x+4y = 3$ et $2x-5y=-7$. On veut les coordonnées homogènes de $P$.
Je n'ai pas réussi à mettre sur papier aucune équation mais voici néanmoins la façon dont j'interprète cet exercice.
L'équation $x+4y = 3$ correspond à un plan de $\mathbb{R}^3$. Lorsqu'on inclut $\mathbb{A}^2$ à $\mathbb{R}^3$, on ajoute l'équation du plan $z = 1$ à l'équation du plan avec lequel on travaille. Dans le cas présent, la "droite" d'équation $x+4y = 3 \in \mathbb{A}^2$ devient le système d'équations $\begin{cases}x+4y&=3\\z&=1\end{cases}$ dans $\mathbb{R}^3$. La solution de ce système correspond bien à une droite du plan $z=1$.
Les points de $\mathbb{RP}^2$ correspondent à des droites passant par l'origine de $\mathbb{R^3}$ et les droites de $\mathbb{RP}^2$ correspondent à des plans passant par l'origine de $\mathbb{R^3}$. Donc trouver l'intersection de deux droites de $\mathbb{RP}^2$ revient à trouver l'intersection de deux plans passant par l'origine de $\mathbb{R}^3$. L'intersection de ces deux plans est une droite passant par l'origine de $\mathbb{R}^3$ qui elle même correspond à un point de $\mathbb{RP}^2$. C'est le point $P$ que l'on recherche !
Voilà comment j'interprète cet exercice. Si j'ai fait la moindre erreur ou manque de précision, veuillez me corriger. Maintenant, reste à savoir comment mettre tout ça en pratique. C'est précisément ici que j'ai besoin de votre aide. Étant donné que je débute en géométrie projective, je dois aussi vous dire que j'ai beaucoup de mal avec la notion de coordonnées homogènes. Il me semble qu'il faut les utiliser pour résoudre cet exercice.
Merci.
J'étudie la géométrie projective et j'ai cet exercice qui me pose problème. L'énoncé est le suivant.
On considère le plan affine $\mathbb{A}^2$ comme le plan $\{z = 1\} \subset \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$. Trouver le point d'intersection $P \in \mathbb{RP}^2$ des droites de $\mathbb{A}^2: x+4y = 3$ et $2x-5y=-7$. On veut les coordonnées homogènes de $P$.
Je n'ai pas réussi à mettre sur papier aucune équation mais voici néanmoins la façon dont j'interprète cet exercice.
L'équation $x+4y = 3$ correspond à un plan de $\mathbb{R}^3$. Lorsqu'on inclut $\mathbb{A}^2$ à $\mathbb{R}^3$, on ajoute l'équation du plan $z = 1$ à l'équation du plan avec lequel on travaille. Dans le cas présent, la "droite" d'équation $x+4y = 3 \in \mathbb{A}^2$ devient le système d'équations $\begin{cases}x+4y&=3\\z&=1\end{cases}$ dans $\mathbb{R}^3$. La solution de ce système correspond bien à une droite du plan $z=1$.
Les points de $\mathbb{RP}^2$ correspondent à des droites passant par l'origine de $\mathbb{R^3}$ et les droites de $\mathbb{RP}^2$ correspondent à des plans passant par l'origine de $\mathbb{R^3}$. Donc trouver l'intersection de deux droites de $\mathbb{RP}^2$ revient à trouver l'intersection de deux plans passant par l'origine de $\mathbb{R}^3$. L'intersection de ces deux plans est une droite passant par l'origine de $\mathbb{R}^3$ qui elle même correspond à un point de $\mathbb{RP}^2$. C'est le point $P$ que l'on recherche !
Voilà comment j'interprète cet exercice. Si j'ai fait la moindre erreur ou manque de précision, veuillez me corriger. Maintenant, reste à savoir comment mettre tout ça en pratique. C'est précisément ici que j'ai besoin de votre aide. Étant donné que je débute en géométrie projective, je dois aussi vous dire que j'ai beaucoup de mal avec la notion de coordonnées homogènes. Il me semble qu'il faut les utiliser pour résoudre cet exercice.
Merci.
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Réponses
Cherchons la bonne équation de plan. Elle est de la forme $ax+by+cz=d$. On veut que $(0,0,0)$ soit solution, ce qui donne $d=\dots$. De plus, on veut que l'intersection avec le plan d'équation $z=1$ soit la droite de départ : autrement dit, on veut l'équivalence
\[\begin{cases}ax+by+cz=d\\z=1\end{cases}\ \Longleftrightarrow\ \begin{cases}x+4y=3\\z=1.\end{cases}\]
Il est donc raisonnable de prendre $a=\dots$, $b=\dots$, $c=\dots$.
On veut que $(0,0,0)$ soit solution de l'équation du plan $ax+by+cz=d$. Dès lors, $d=0$. Par ailleurs, la solution de l'équivalence $$\begin{cases}ax+by+cz=d\\z=1\end{cases}\ \Longleftrightarrow\ \begin{cases}x+4y=3\\z=1.\end{cases}$$ donne $a=1,b=4,c=-3$. Alors, l'équation du plan, notons le $P_1$, est donnée par $P_1 : x+4y-3z=0$. De la même façon, on trouve le plan $P_2 : 2x-5y+7z=0$ correspondant à la droite $2x-5y=-7 \in \mathbb{A}^2$.
Je recherche à présent la droite $\epsilon$ de $\mathbb{R}^3$, intersection des plans $P_1$ et $P_2$. Après quelques calculs, on trouve l'équation de la droite recherchée sous forme paramétrique, à savoir $$\epsilon : \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$ C'est ici que j'ai à nouveau besoin d'aide. À quel point du plan projectif $\mathbb{RP}^2$, sous forme de coordonnées homogènes $[X:Y:Z]$, correspond la droite $\epsilon$ que je viens de trouver?
De même qu'une droite affine de $\{z=1\}$ définit un plan passant par l'origine, un point du même plan affine définit une droite passant par l'origine. Réciproquement, toute droite passant par l'origine coupe le plan d'équation $z=1$, à moins qu'elle ne soit contenue dans le plan d'équation $z=0$ : ces droites définissent les « points à l'infini » du plan affine de départ). Ce qu'il te reste à faire, c'est donc trouver l'intersection de la droite que tu as définie avec le plan $z=1$, c'est-à-dire trouver la valeur de $t$ pour laquelle la 3e coordonnée de $\epsilon(t)=1$. Ça ne devrait pas te surmener.
Merci encore pour votre aide.
$$
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\bullet\begin{pmatrix} 1\\4\\-3 \end{pmatrix} = 0
\qquad \text{et} \qquad
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\bullet\begin{pmatrix} 2\\-5\\7 \end{pmatrix} = 0
$$
tu remarques que tu cherches un vecteur orthogonal aux deux vecteurs de coefficients. Donc$$
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\4\\-3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\-5\\7 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 13\\-13\\-13 \end{pmatrix}
$$
La conclusion suit.
En poursuivant ton idée, on a:
$$ \begin{pmatrix} 1 &4& -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = 0
\qquad \text{et} \qquad
\begin{pmatrix} 2 &-5& 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = 0
$$
Il est plus agréable de noter les points en colonne, et les droites en ligne, cela permet de les distinguer. Bien entendu, il existe des peuplades contrariantes qui notent les points en ligne, et les droites en colonne (les Anglais font cela): il faut faire un choix et s'y tenir.
On cherche donc une colonne qui annule les deux lignes de coefficients. Et cela on connait (à un facteur près), cela s'appelle la colonne des cofacteurs des deux lignes. Donc$$
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \simeq \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \end{pmatrix} \wedge
\begin{pmatrix} 2 & -5& 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\times7-3\times5\\ \cdots\\ \cdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\\-13\\-13 \end{pmatrix} \simeq \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} $$
La notation $\wedge$ me sert à rappeler que ce "produit vectoriel" a pour signature $(ligne,\;ligne)\mapsto colonne$, mais aussi $(colonne,\;colonne)\mapsto ligne$ lorsque l'on cherche la droite passant par deux points. Les deux calculs se ressemblent fortement: cela s'appelle la dualité.
Par contre, je n'ai pas l'impression que l'on gagne grand' chose à imaginer une droite étant comme un plan de l'espace passant par l'origine, et l'intersection des deux droites comme étant la droite de l'espace intersection des deux plans précédents.
Cordialement, Pierre.
À supposer qu'on me donne le même problème avec les droites de $\mathbb{A}^2$ suivantes : $2x-3y=6$ et $-4x+6y=13$. Je trouve les plans $P_1' : 2x-3y-6z = 0$ et $P_2' : -4x+6y-13=0$ de $\mathbb{R}^3$ en correspondance avec les deux droites de $\mathbb{A}^2$ qui me sont données. Je trouve l'équation paramétrique de la droite $\epsilon'$, intersection de $P_1'$ et $P_2'$ définie comme suit $$\epsilon': \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3/2\\1\\0\end{pmatrix}.$$ Ici, la droite $\epsilon'$ passe par l'orginie $O=(0,0,0)$ de $\mathbb{R}^3$ et est contenue dans la plan d'équation $z=0$. Elle correspond dès lors à un point à l'infini, intersection des deux droites de départ de $\mathbb{A}^2$, point que l'on caractérisera par les coordonnées homogènes $[3/2 : 1: 0]$.
Est-ce que j'ai correctement interprété le résultat? Si j'ai bien compris, les deux droites de $\mathbb{A}^2$ en question sont parallèles et se coupent en un point à l'infini. C'est pour cette raison que, dans le plan projectif, on dit que "deux droites parallèles se rejoignent à l'infini".
\begin{pmatrix} -4 & 6& -13 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 3\times13+6\times6\\ 6\times 4+13\times 2\\
2\times 6-3\times4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
75\\50\\0 \end{pmatrix} \simeq \begin{pmatrix}
3\\2\\0 \end{pmatrix} $$
Ce que deux droites parallèles ont en commun, c'est leur direction.
Pour ce qui est d'homogénéiser, la droite définie par les deux points $(x_1 ,y_1)$, $(x_2,y_2)$ a pour coefficients $a,b,c$ tels que le point courant et les deux autres vérifient : $$\begin{eqnarray*} ax&+&by&+&c&=&0 \\
ax_1&+&by_1&+&c&=&0 \\
ax_2&+&by_2&+&c&=&0
\end{eqnarray*}$$ et cela s'écrit: $$ \begin{pmatrix} a&b&c \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix} x&x_1&x_2 \\
y&y_1&y_2 \\
1&1&1
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0&0 \end{pmatrix}
$$
Cela explique largement pourquoi il on écrit les points ordinaires sous la forme $x:y:1$ (avec la convention: colon means column) !
Edit: le "s" est revenu de ses vacances.
Ah, les helvètes...
Ils ont l'habitude, par nécessité, de fréquenter plusieurs cultures,
Cordialement, Pierre.
Ça n'est pas si incongru : pour percevoir que les rangs de lavandes (portées par les droites $x=k$, évidemment) finissent par se rejoindre « à l'infini », on se met un peu au-dessus du champ. Tout se passe comme si on mettait son œil en $0$ quand le champ (uniformément plat et non borné comme il se doit) est dans le plan $z=1$ ; les rayons lumineux de mon œil à un rang de lavande décrivent un plan, etc.
Apparemment, l'image a été utile à kgeorgios. Pour ma part, on m'a appris à homogénéiser mécaniquement et quand, des années plus tard, on m'a montré le modèle du plan $z=1$ etc., ça a été une révélation. En tout cas : une image de plus ne saurait nuire !