trois cordes d'un cercle

jelobreuil
jelobreuil
dans Géométrie
Bonsoir à tous
Je propose la question suivante, en espérant qu'elle ne soit pas totalement inintéressante :
Soit un cercle de centre O et trois cordes AB, BC et CD.
Soient M le milieu de BC, I le point d'intersection de AB et CD ou de leurs prolongements hors du cercle, et P la projection orthogonale de I sur la droite portant BC.
Pourquoi les points A, D, M et P ne sont-ils cocycliques que si BC est un diamètre du cercle, M étant alors évidemment confondu avec O ?
Est-ce en rapport avec une propriété de certains quadrilatères inscriptibles et de leurs diagonales ?

Bien cordialement

Réponses

  • soland
    soland
    Contrexemple :

    BIC isocèle en I, M et P confondus.
  • fm_31
    fm_31
    Bonjour ,

    une démonstration possible

    Cordialement67038
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Morley trouve que $A,D,M,P$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si $(b + c)(b - c)(b - d)(a - d)(ad - bc)=0$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour.

    Pareil que Rescassol. Autrement dit: $[B,C]$ diamètre ou $ABCD$ trapèze isocèle (base $BC$) ou bien points confondus.

    Cordialement, Pierre.
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir à tous et merci aux contributeurs de ce fil !
    Merci, Pierre, d'avoir explicité le résultat de Rescassol dont la formulation reste assez hermétique pour ceux qui, comme moi, n'ont aucune connaissance théorique ou pratique de la géométrie analytique dans le plan complexe ...
    Ce serait donc bien une propriété particulière d'une série corde-diamètre-corde et donc des quadrilatères inscriptibles ayant pour côté le diamètre du cercle circonscrit ... une piste à suivre ?
    Bien cordialement
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Tu trouves que $b=c,b=d$ ou $a=d$ pour dire que des points sont confondus est hermétique ?
    De même $b+c=0$ pour dire que $B$ et $ C$ sont symétriques par rapport à $O$, donc que $[BC]$ est un diamètre ?
    Par contre, je veux bien te l'accorder pour le trapèze et $ad=bc$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir Rescassol, bonsoir à tous,
    Oui, Rescassol, ne te déplaise, je n'ai pas encore le réflexe de lire tes notations a, b, c et d comme étant les affixes des points A, B, C et D dans le plan complexe, et à première vue, je n'y comprenais rien ! Et ce n'est qu'en lisant le message de Pierre que j'ai commencé à percuter !
    Manque d'habitude, de pratique ...
    Mais j'ai trouvé une solution synthétique à ma question : en fait, quand BC est un diamètre du cercle, les triangles ABC et BCD sont rectangles en A et D respectivement, et les points A, D, O et P sont des points du cercle d'Euler du triangle ABI, à savoir les pieds des trois hauteurs et le milieu de BC, voir les figures du fichier joint.
    Bien évidemment, si BC n'est pas un diamètre, une telle situation ne peut apparaître ...
    Bien cordialement
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